多元函数极值的极值 注记3：求z=f(x,y)极值的步骤 例2求函数fx,)=x-y2+3x2+3y2-9x的极值， 第一步：求出f(x,y),f(x,) 解 (1)显然f(x,y)=3x2+6x-9,f(x,)=-3y2+6y 第二步：解方程组)=0 (x.y)=0 求出驻点(x) (2)解方程组 fx,川=3x+6x-9=得x=3 f,(x,y)=-3y2+6y=0 y=0,2 第三步：求出后(x,后x,),(x,) 第四步：求出4，B,C及AC-B 于是得四个驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2) (3)显然二阶偏导数 A=f(0,6),B=f(x0%),C=f(x) f(x,y)=6x+6,f"(x,y)=0,fw(x,y)=6y+6 第五步：根据AC-B及A的符号判断 (】 (4.0) 0,2) (-3,0 (-32 f(xy)在点(xo,)处是否取 A=f(x,)=6x+6 12>0 12>0 -12<0 -12<0 得极值是极大还是极小 B=(x,)=0 0 0 0 0 C=f(x,y)=-6y+6 6 -6 6 -6 函数在(L,0)处有极小值fL,0)=-5, AC-B 72>0 -72<0 -72<0 72>0 在(-3,2)处有极大值f(-3,2)=31 极小值 极大值 foo） 无极值 无极值 点(1,2)，(-3,0)不是极值点 注记 3：求 z f x y  ( , )极值的步骤 第一步 ：求出 ( , ), ( , ) x y f x y f x y   第二步：解方程组 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y        求出驻点 0 0 ( , ) x y 第三步： 求出 ( , ), ( , ), ( , ) xx xy yy f x y f x y f x y    第四步： 求出 A B C , , 及 2 AC B 0 0 0 0 0 0 ( , ), ( , ), ( , ) A f x y B f x y C f x y xx xy yy       第五步：根据 2 AC B 及 A的符号判断 f x y ( , )在点 0 0 ( , ) x y 处是否取 得极值是极大还是极小 例 2 求函数 3 3 2 2 f x y x y x y x ( , ) 3 3 9      的极值 解 （1）显然 2 ( , ) 3 6 9 x f x y x x     , 2 ( , ) 3 6 y f x y y y     （2）解方程组 2 2 ( , ) 3 6 9 0 ( , ) 3 6 0 x y f x y x x f x y y y                得 1, 3 0,2 x y       于是得四个驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2) （3）显然二阶偏导数 f x y x f x y f x y y xx xy yy    ( , ) 6 6, ( , ) 0, ( , ) 6 6       0 0 ( , ) x y (1,0) (1,2) ( 3,0)  ( 3,2)  ( , ) 6 6 A f x y x xx     12 0  12 0    12 0   12 0 ( , ) 0 B f x y xy    0 0 0 0 ( , ) 6 6 C f x y y yy      6 －6 6 －6 2 AC B 72 0    72 0   72 0 72 0  0 0 f x y ( , ) 极小值 5 无极值 无极值 极大值31 函数在(1,0)处有极小值 f (1,0) 5   ， 在( 3,2)  处有极大值 f ( 3,2) 31   点(1,2),( 3,0)  不是极值点 一、多元函数极值的极值