习题10.2一致收敛级数的判别与性质 1.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 (1)∑(1-x)x", ∈ (2)∑(1-x)2x", x∈[0,1] (3)∑x x∈ (4) (i)x∈D+∞),(i)x∈[6,+∞)(8>0); 6)21+nx, x∈(-∞,+∞) sIn nx x∈(-∞,+∞) nel vn+x ∑(-1)“(1-x)x ∈[0,1 (8)∑ (9)∑ (i)x∈(0,+∞),(i)x∈[6+∞)(8>0); sIn xsin nx ∈ Nn ∈ (1+x2) 0D)∑(-1) x∈(-,+∞) 解(1)S(x)=∑(1-x=1-x1, 由于}在非一致收敛,所以∑(-x)x”在[上非一致收敛 (2)设un(x)=(1-x)2xn,则在0上 0≤ln(x)≤ln( 由于∑4收敛,由 Weierstrass判别法,∑u-x)x"在p上一致习 题 10.2 一致收敛级数的判别与性质 1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − 0 (1 ) n n x x ⑵ ∑ ， ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x x∈[0, 1]； ⑶ ∑ ， x∈ ∞ = − 0 3 2 e n nx x [0,+∞)； ⑷ ∑ ， (i) x∈ ∞ = − 0 2 e n nx x [0,+∞)， (ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑸ ∑ ∞ =0 + 3 2 n 1 n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑹ ∑ ∞ =1 + 3 4 4 sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑺ ∑ ， x∈[0, 1]； ∞ = − − 0 ( 1) (1 ) n n n x x ⑻ ∑ ∞ = + − 1 2 ( 1) n n n x ， x∈(-∞, +∞)； ⑼ ∑ ∞ =0 3 1 2 sin n n n x ， (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈[δ ,+∞)（δ＞0）； ⑽ ∑ ∞ =1 sin sin n n x nx ， x∈(-∞, +∞)； ⑾ ∑ ∞ =0 + 2 2 n (1 ) n x x ， x∈(-∞, +∞)； ⑿ ∑ ∞ = + − 0 2 2 (1 ) ( 1) n n n x x ， x∈(-∞, +∞)。 解（1） ∑ ， = = − n k k n S x x x 0 ( ) (1 ) 1 1 + = − n x 由于{ } n+1 x 在[0,1]非一致收敛，所以∑ 在 上非一致收敛。 ∞ = − 0 (1 ) n n x x [0,1] （2）设un (x) = (1− x) 2 x n ，则在[0,1]上 ) 2 0 ( ) ( + ≤ ≤ n n u x u n n 2 ( 2) 4 + < n ， 由于 ∑ ∞ =0 + 2 ( 2) 4 n n 收敛，由 Weierstrass 判别法，∑ 在 上一致 ∞ = − 0 2 (1 ) n n x x [0,1] 1