七(本题8分)平面图形D由曲线y=2-√x,x=1,y=2所围,将上述图形D绕轴 x=1旋转一周得到一个旋转体,求此旋转体的体积和表面积 解:旋转体的体积V (2-y)2-1)d 表面积A=x+2∫(1-(2-y)+42-yd =丌 (1-x2)√1+4xdx 46+17ln(2+√5) 八.(本题6分)设∫在[0,1上二阶导数连续,f(O)=f(1)=0,证明 证:记a=(x)本,如果厂为常数函数,结论成立 否则(x)的最大值在(O,1)内取到,记x。∈(0,1),使(x0)=maN/(x) f∫(x)=0。 不妨设∫(x0)≥0 于是t,v∈[0,1,u≥v ∫)2(x2/(m)o) 所以f()-f(a)smrx)女=a 两边关于v在[O,x0上积分,得f(x0)-x0f(u)≤ax0, 继续关于u在[ⅹ01上积分,得(1-x0)f(x0)-x(0-f(x0)≤ax0(1-x), 即f(x0)≤ax0(1-x0)≤:a6 七.（本题 8 分）平面图形 D 由曲线 y  2  x, x 1, y  2 所围， 将上述图形 D 绕轴 x 1 旋转一周得到一个旋转体，求此旋转体的体积和表面积。 解：旋转体的体积 V     2 1 2 2  ((2 y) 1) dy  15 8  。 表面积        2 1 2 2 A  2 (1 (2 y) ) 1 4(2 y) dy      1 0 2 2  2 (1 x ) 1 4x dx  32 46 17ln(2  5)  。 八.（本题 6 分）设 f 在 [0, 1] 上二阶导数连续， f (0)  f (1)  0 ，证明      1 0 1 0 ( ) 4 1 max f (x) f x dx x 。 证：记 a    1 0 f (x) dx ，如果 f 为常数函数，结论成立。 否则 f (x) 的最大值在 (0,1) 内取到，记 x (0 1) 0  , ，使 ( ) max ( ) 0 1 0 f x f x x  ， 则 f (x0 )  0 。 不妨设 f (x0 )  0， 于是 u， v[0, 1]，u  v ， 有   u v f (x) dx ( ) ( ) ( ) u v  f  x dx  f  v  f  u  ， 所以 f (v)  f (u)  f  x dx  a  1 0 ( ) 。 两边关于 v 在 [0, x ] 0 上积分，得 f (x0 )  x0 f (u)  ax0 ， 继续关于 u 在 [ x ,1] 0 上积分，得 (1 ) ( ) (0 ( )) (1 ) 0 0 0 0 0 0  x f x  x  f x  ax  x ， 即 f x ax x a 4 1 ( ) (1 ) 0  0  0 