§3.2假设检验的基本方法与两种类型的错误 在我们从一道例题入手,看看假设检验的基本做法和其中所涉及的一些理论性问题 例3.1某地区10年前普查时,13岁男孩子平均身高为1.51m,现抽查200个12.5岁到13.5 岁男孩,身高平均值为1.53m,标准差0.073m,问10年来该地区男孩身高是否有明显增 分析:从题目知10年前总体均值μ1=1.51m。现在抽取200个个体,得样本均值X=153m 样本标准差S=0.073m。现在总体均值μ未知。题目要求判断μ>μ1是否成立。 解决方法:先假设μ=μ1=1.51m。再看从这样一个总体中抽出一个n=200,X=153 S=0.073的样本的可能性有多大?如果这可能性很大,我们只能认为μ与μ1差别不大,即 μ=μ很可能成立。反之若可能性很小,则说明在假设μ=u1成立的条件下,抽出这样一个 样本的事件是一个小概率事件。小概率事件在一次观察中是不应发生的,但它现在发生了 一个合理的解释就是它本不是小概率事件,是我们把概率算错了。而算错的原因就是我们在 一开始就做了一个错误的假设μ=μ1。换句话说,此时我们应该认为μ>μ1,即男孩身高有 明显增长。这就是假设检验的基本思路。 按这一思路解题,首先需要明确以下几个问题 1°假设的建立。 零假设:记为H,针对要考查的内容提出。本例中可为:H6:μ=151。它通常为一个数值, 或一个半开半闭区间(例如可能为H:u≤151)。原则为:a)通过统计检验决定接受或拒绝 H后,可对问题作出明确回答;b)要能根据H建立统计量的理论分布。 备择假设:记为H,是除H外的一切可能值的集合。这里强调一切可能值是因为检验只能 判断H是否成立,若不成立则必须是H。H通常是一个区间。例如当H取为μ=151时, H应取为u≠151。此时若有理由认为μ>151或μ<151不可能出现,也可只取H为可能出 现的一半,即μ<151或μ冮151,这样可提高检验精度(原因参见单侧与双侧检验)。当H 取为μ≥151或μ≤151时,H则应相应取为μ<151或μ151。原则为:a)应包括除H外 的一切可能值:b)如有可能,应缩小备择假设范围以提高检验精度 2°小概率原理:小概率事件在一次观察中不应出现。这是一切统计检验的理论基础 注意:小概率事件不是不可能事件。观察次数多了,它迟早会出现。因此“一次”这个词是 重要的 3°两种类型的错误:统计量是随机变量,它的取值受随机误差等因素的影响,是可以变化 的。我们根据它作出的决定也完全可能犯错误。这一点无法绝对避免。统计上犯的错误可分 为以下两类 第一类错误:H正确,却被拒绝。又称弃真。犯这种错误的概率记为α。 第二类错误:H错误,却被接受。又称存伪。犯这种错误的概率记为β 两类错误的关系可用图3.1说明:§3.2 假设检验的基本方法与两种类型的错误 现在我们从一道例题入手，看看假设检验的基本做法和其中所涉及的一些理论性问题。 例 3.1 某地区 10 年前普查时，13 岁男孩子平均身高为 1.51m，现抽查 200 个 12.5 岁到 13.5 岁男孩，身高平均值为 1.53m，标准差 0.073m，问 10 年来该地区男孩身高是否有明显增 长？ 分析：从题目知 10 年前总体均值μ1=1.51m。现在抽取 200 个个体，得样本均值 X = 1.53 m， 样本标准差 S=0.073m。现在总体均值μ未知。题目要求判断μ>μ1 是否成立。 解决方法：先假设μ=μ1=1.51m。再看从这样一个总体中抽出一个 n=200, X = 153， S=0.073 的样本的可能性有多大？如果这可能性很大，我们只能认为μ与μ1 差别不大，即 μ=μ1 很可能成立。反之若可能性很小，则说明在假设μ=μ1 成立的条件下，抽出这样一个 样本的事件是一个小概率事件。小概率事件在一次观察中是不应发生的，但它现在发生了， 一个合理的解释就是它本不是小概率事件，是我们把概率算错了。而算错的原因就是我们在 一开始就做了一个错误的假设μ=μ1。换句话说，此时我们应该认为μ>μ1，即男孩身高有 明显增长。这就是假设检验的基本思路。 按这一思路解题，首先需要明确以下几个问题： 1°假设的建立。 零假设：记为 H0，针对要考查的内容提出。本例中可为：H0: μ=151。它通常为一个数值， 或一个半开半闭区间（例如可能为 H0:u≤151）。原则为：a)通过统计检验决定接受或拒绝 H0 后，可对问题作出明确回答；b）要能根据 H0 建立统计量的理论分布。 备择假设：记为 HA，是除 H0 外的一切可能值的集合。这里强调一切可能值是因为检验只能 判断 H0 是否成立，若不成立则必须是 HA。HA 通常是一个区间。例如当 H0 取为 μ=151 时， HA 应取为μ≠151。此时若有理由认为μ>151 或μ<151 不可能出现，也可只取 HA 为可能出 现的一半，即μ<151 或μ>151，这样可提高检验精度（原因参见单侧与双侧检验）。当 H0 取为μ≥151 或μ≤151 时，HA 则应相应取为μ<151 或μ>151。原则为：a)应包括除 H0 外 的一切可能值；b)如有可能，应缩小备择假设范围以提高检验精度。 2°小概率原理：小概率事件在一次观察中不应出现。这是一切统计检验的理论基础。 注意：小概率事件不是不可能事件。观察次数多了，它迟早会出现。因此“一次”这个词是 重要的。 3°两种类型的错误：统计量是随机变量，它的取值受随机误差等因素的影响，是可以变化 的。我们根据它作出的决定也完全可能犯错误。这一点无法绝对避免。统计上犯的错误可分 为以下两类： 第一类错误：H0 正确，却被拒绝。又称弃真。犯这种错误的概率记为α。 第二类错误：H0 错误，却被接受。又称存伪。犯这种错误的概率记为β。 两类错误的关系可用图 3.1 说明：