第五讲对角化与 Jordan标准形 正规矩阵 1.实对称矩阵与厄米矩阵 实对称矩阵:实矩阵AA=A 厄米矩阵:复矩阵AA=A 实反对称矩阵:实矩阵AA=-A 反厄米矩阵:复矩阵AAH=-A 2.正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵:实矩阵AAA=AA=(A=A 酉矩阵:复矩阵AAA=AH"=Ⅰ(A=A) 3.正交相似变换和酉相似变换 P为正交矩阵,A为实矩阵,PAP为对A的正交相似变换; P为酉矩阵,A为复矩阵,PAP为对A的酉相似变换 4.正规矩阵 实矩阵A,若满足AA=A,则A为实正规矩阵; 复矩阵A,若满足AA=AA,则A为复正规矩阵 显然,实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5.相似矩阵具有相同的特征多项式→>相同的特征值、迹、行列式。 det(al-p aP)=det[p (al-a)Pi det(p )det(al- a)det(p) det(P )det( p)det(al-a) det(al-a)第五讲 对角化与 Jordan 标准形 一、正规矩阵 1. 实对称矩阵与厄米矩阵 实对称矩阵：实矩阵 A T A A = 厄米矩阵：复矩阵 A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵 A T A A = − 反厄米矩阵：复矩阵 A H A A = − 2. 正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵：实矩阵 A T T A A AA I = = （ 1 T A A − = ） 酉矩阵：复矩阵 A H H A A AA I = = （ 1 H A A − = ） 3. 正交相似变换和酉相似变换 P 为正交矩阵， A 为实矩阵， 1 P AP − 为对 A 的正交相似变换； P 为酉矩阵， A 为复矩阵， 1 P AP − 为对 A 的酉相似变换。 4. 正规矩阵 实矩阵 A ，若满足 T T A A AA = ，则 A 为实正规矩阵； 复矩阵 A ，若满足 H H A A AA = ，则 A 为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式 → 相同的特征值、迹、行列式。 1 1 det( ) det[ ( ) ]   I P AP P I A P − − − = − 1 1 det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) det( ) P I A P P P I A I A    − − = − = − = −