例1 在均匀电场中置入半径为R的导体球,试用分离变数法求下列两种情况的电势 1.导体球上有电池使球与地保持电势差 2.导体球上带总电荷Q 分析]有人会说都是把导体球放入电场,这两个问题有什么区别,其实由于导体在电厂中的 电荷Q与电势差为对偶量,不能同时确定。所以这两个问题虽然相似但却不同 解: 导体球只在导体表面存在电荷,所以拉普拉斯方程写为 V2=0 拉普拉斯方程: lvM.=0 对于金属是等势体∴啊= 边界条件: 无穷远处和原点。啊体=1C 。= 外界与金属球的边界: 其实这两个问题就是知道啊求Q和知道Q求中 1.导体球上有电池使球与地保持电势差 用勒朗德函数展开 A,R+B,R-tP(cos O 通解: =∑[CR+DR]Pes 由边界条件,8=4,8 SA R+BR+D-CR'-DR-+P(cos0)=0 →阳 ∑[4F+BR-CF-DR“]P 0例 1 在均匀电场中置入半径为 R0 的导体球，试用分离变数法求下列两种情况的电势 1． 导体球上有电池使球与地保持电势差 0 2． 导体球上带总电荷 Q [分析]有人会说都是把导体球放入电场，这两个问题有什么区别，其实由于导体在电厂中的 电荷 Q 与电势差 0 为对偶量，不能同时确定。所以这两个问题虽然相似但却不同。 解： 导体球只在导体表面存在电荷，所以拉普拉斯方程写为 拉普拉斯方程： 2 2 0 0    =   =  内 外 对于金属是等势体  =   内 0 边界条件： 无穷远处和原点： 0 0 0 0 -E R R    R Cos   → →  = +    =  内 外 外界与金属球的边界： 0 0 0 0 R R R R s R R ds Q n      → → →  = =     − =    内 外 0 外 其实这两个问题就是知道 内 求 Q 和知道 Q 求 内 。 1． 导体球上有电池使球与地保持电势差 0 用勒朗德函数展开 通解： ( 1) 0 ( 1) 0 (cos ) (cos ) l l l l l l l l l l l l A R B R P C R D R P      − + =  − + = = +     = +       内 外 由边界条件 R R0 R R0   → → 内 = 外 0 ( 1) ( 1) 0 (cos ) 0 l l l l l l l l l l R R A R B R C R D R P   − + − + = →   + − − =   0 ' ( ' 1) ' ( ' 1) ' ' ' ' ' ' 0 (cos ) 0 l l l l l l l l l l R R A R B R C R D R P   − + − + = →   + − − =  