定理(Nmm定理方阵4的 Neumann级数 ∑A=1+A+A-+…+A+ k=0 收敛的充要条件是(4)<1,且收敛时其和为I-A) Proof:充分性:r(4)<1→Ⅰ-A可逆一 (+A+42+…+4)(-A)=1-A4+1→ +A+…+A=(1-A) 1Ak+1 (-A) -1 r(4)<1I+A+A2+…+→(-4)1I − A可逆 定理5(Neumann定理) 方阵A的Neumann级数 ( ) 1, , ( ) . −1 收敛的充要条件是r A  且收敛时其和为 I − A  = + + + + +  =0 2 k k k A I A A  A  2 1 ( )( ) + + + + + − = − k k I A A  A I A I A 1 1 1 ( ) ( ) − + − I + A+ + A = I − A − A I − A  k k r A( ) 1  Pr : oof 充分性：r(A)  1 2 1 ( ) − I + A+ A + + A → I − A  k