再讨论一个三维空间的例子,这时的 Green函数G(r,t;r,t)满足定解问题 a2_xGr, t:T,t)=d(r-r)8(t-t,t, t'>0, G(r, t;r, t)I aG(r,t;r,t) 作 Fourier变换 g(r,w; r,t') G(r, t; r,t) 于是就将定解问题化为 9(T 根据272节的结果,可以得到 gr,w;r, 作逆变换,就有 G(r,t;r,t) 47a2T-r'l 物理意义很明确:t时刻在r处发射的信号,t时刻一定到达距r点为a(t-t)的球面上 根据这个 Green函数,当然就可以得到三维无界空间中波动方程的初值问题 u(T t)l=0=() 的解, (T,t) f(r,t-Ir'-rl/a) w(r d∑ at 其中∑是以r点为球心、at为半径的球面r-r|=atWu Chong-shi ➲➳➵➸ Green ♣q (➳ ) r 5 s ❹✘✙✦❫❪ã✼✽✢✏ä✑❄✴✢ Green ✰✱ G(r, t; r 0 , t0 ) ÝÞ✔★✣✤ h ∂ 2 ∂t2 − a 2∇2 i G(r, t; r 0 , t0 ) = δ(r − r 0 )δ(t − t 0 ), t, t0 > 0, G(r, t; r 0 , t0 )   t<t0 = 0, ∂G(r, t; r 0 , t0 ) ∂t     t<t0 = 0. å Fourier ➦ ↕ g(r, ω; r 0 , t0 ) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ G(r, t; r 0 , t0 ) eiωt dt, ✸ ✪✩✐ ✔★✣✤Ï✎ h (−iω) 2 − a 2∇2 i g(r, ω; r 0 , t0 ) = 1 √ 2π e iωt0 δ(r − r 0 ) ➄ h ∇2 + ω a 2 i g(r, ω; r 0 , t0 ) = − 1 √ 2πa 2 e iωt0 δ(r − r 0 ), æç 27.2 è ✢é➭✗✫✡➅ê g(r, ω; r 0 , t0 ) = 1 √ 2πa 2 e iωt0 1 4π|r − r 0 | e i(ω/a)|r−r 0 | . åë➦ ↕✗✩✚ G(r, t; r 0 , t0 ) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ g(r, ω; r 0 , t0 )e−iωtdω = 1 4πa 2 1 |r − r 0 | 1 2π Z ∞ −∞ e −iω(t−t 0 ) · e i(ω/a)|r−r 0 |dω = 1 4πa 2 1 |r − r 0 | δ  |r − r 0 | a − (t − t 0 )  = 1 4πa 1 |r − r 0 | δ (|r − r 0 | − a(t − t 0 )). ❈❉❊❋● ì✓❏ t 0 ✴✺✷ r 0 íîï✢ð➝✗ t ✴✺✦✔êñò r 0 ✻ ✎ a(t − t 0 ) ✢óô➂✑ æç❄❫ Green ✰✱✗❙❚✩✫✡➅ê❪ãõ✛✼✽ ↔☛☞✌✍✢❆á✣✤ ∂ 2u(r, t) ∂t2 − a 2∇2u(r, t) = f(r, t), t > 0, u(r, t)   t=0 = φ(r), ∂u(r, t) ∂t    t=0 = ψ(r) ✢★✗ u(r, t) = 1 4πa 2 ZZ Z |r0−r|<at f(r 0 , t − |r 0 − r|/a) |r 0 − r| dr 0 + 1 4πa " Z Z Σ0 ψ(r 0 ) |r 0 − r| dΣ 0 + ∂ ∂t Z Z Σ0 φ(r 0 ) |r 0 − r| dΣ 0 # , ö ↔ Σ0 ✪✡ r ✻ ✎ó÷ø at ✎ùú✢óô |r 0 − r| = at ✑