6 第七章整数规划 五、0-1变量多项式 如果在前面的投资问题中，补充两点：1.项目必须在项目k和项目1同时投资的前 提下才可以投资2.项目k和项目1同时投资时，可增获利润.那么这时的棋型将成为： max 满足 p≤xk, 0≤与≤1且为整数，对一切 模型的目标函数和约束方程中都出现了变量多项式，从而成为一个非线性的0-1规 划问题。采用下面的方法，可以将问题转化为线性的0-1规刻问题 1.所有x:的非零幂用x,替换.这是因为 x号=x,n=1,2, 2.用0-1变量xQ替换乘积ⅡcQ,Q为连乘的马的下标集合，xQ应满足： 之+1-0 (.1) o≤(MQ1 (7.2) 式中1Q一集合Q中元素的个数. 式（亿.1）的成立将保证，当对一切j∈Q有工)=1时，xQ必等于1. 式(72)的成立将保证仅当对一切j∈Q,有=1时，xQ才可等于1，任一)=0 时，则xQ必等于0. 对于上面的例题可用Y代替x,但需增加约束 2张++1-2 士≤(k+)/2 模型变为： max&= 满足 ∑4≤b, = xp≤x, x>xk+x1-1. 丈≤(rk+)/2. 0≤西≤1，对一切 6 ☞✁✌✁✍✏✎✁✑✁✒✁✓ ➷✿ 0–1 ➬❀➮❀➱❀✃➊ ✶s❽➇ ✻ ✗❇ ❒ ✭✮❿♣, ❐❿❒Ó ✂ : 1. ❊ ➎ p ✲✳ ❽❊ ➎ k â❊ ➎ l ë➅❿❇❒✗➇ ❮ ➊✌å✢✌✣ ❇ ❒ ; 2. ❊ ➎ k â❊ ➎ l ë➅✁❇❒➅, ✢✌ß✁❰✁❍✁■ c 0 . ❚✁➢❯✌➅✗✌è✌é✁✞✌✾▲: max z = Xn j=1 cjxj + c 0xkxl ; ◆✌❖ Xn j=1 ajxj ≤ b, xp ≤ xkxl , 0 ≤ xj ≤ 1➴✌▲✌✴✦ , ❩ ✩✁❞j. è❭é❭✗ ➎➟➏❭➑✦ â❭ï❭ð➶❭ú ♣t ù❭ó❭▼ ✙❭✚➆❊✖✉, ❂❭➌❭✾▲❭✩❭➡❭✇✏❭✑❭✗ 0–1 ✒ ✓ ✭✌✮. ❜ ➋➊✁✻✗✌➶❣ , ✢✌✣✁✞✭✌✮✁Ï✌❚✌▲✏✌✑✌✗ 0–1 ✒✌✓✭✌✮: 1. ✷ ❜ xj ✗✇✁Ð✁Ñ➋ xj ➯✁Ò. ❯✌★✌❳✌▲ x n j = xj , n = 1, 2, . . . . 2. ➋ 0–1 ✙✌✚ xQ ➯✁Ò✁Ó✁Ô Q j∈Q xj ,Q ▲✌➢✁Ó✗ xj ✗➊✌➏✁Õ● ,xQ á✌◆✌❖: xQ ≥ X j∈Q xj + 1 − |Q|, (7.1) xQ ≤ ( X j∈Q xj )/|Q|. (7.2) ✉ ♣ |Q|—- Õ ● Q ♣❺Ï✁Ö✗➡✦ . ✉ (7.1) ✗✌✾✫ ✞❡✁❢, ✇❩ ✩✁❞ j ∈ Q ❜ xj = 1 ➅,xQ ✲✌❈❹ 1. ✉ (7.2) ✗✌✾✫ ✞❡✁❢, ×✁✇❩ ✩✁❞ j ∈ Q, ❜ xj = 1 ➅,xQ å✢✌❈❹ 1, Õ✌✩ xj = 0 ➅, ⑤ xQ ✲✌❈❹ 0. ❩✌❹➂✁✻✗ ✵✌✮✢✌➋ x 0 ➭✁➯ xkxl , ✧✁❏ß✌àï✌ð x 0 ≥ xk + xl + 1 − 2, x 0 ≤ (xk + xl)/2. è✌é✌✙▲: max z = Xn j=1 cjxj + c 0x 0 ; ◆✌❖ Xn j=1 ajxj ≤ b, xp ≤ x 0 , x 0 ≥ xk + xl − 1, x 0 ≤ (xk + xl)/2, 0 ≤ xj ≤ 1, ❩ ✩✁❞j