习题164 Fourier变换和 Fourier积分 1.求下列定义在(-∞,+∞)的函数的 Fourier变换 A,0<x<δ, (1)f(x) 0,其 (2)f(x)=e a>0 (4)f(x)= x≥0, x=e a>0 0,x<0, (5)f(x)= Acos ox,xsS, 0,/珍d≠0是常数,6=x 解(1)1()=[(x)=-=4mb=40-c (2)f(o)=/(r)e" ax=o e-laiodxL"dx (3)J(o)=/()e"dx=[e a -iea dr=e"a cosoxdx (利用例15.2.8的结果) (4)f(o)=f(x)e-r= 2+ (5)f(o)=f(r)e-ie x=.A dx Acos @xcos oxdx(虚部为奇函数,积分为0) A [cos(@o-o)x+cos(@o+o)x]d n(@-@o)8 sin(@+@o)8 (O+@o 2.求f(x)=ea(x∈[0+∞),a>0)的正弦变换和余弦变换。 解正弦变换: f(o)= f(x)sin odx= e- sin oxdx= 余弦变换习题 16.4 Fourier 变换和 Fourier 积分 1．求下列定义在(−∞,+∞) 的函数的 Fourier 变换： ⑴ ⎩ ⎨ ⎧ < < = 0, ; , 0 , ( ) 其它 A x δ f x ⑵ f x a x ( ) e | | = − ， a > 0 ; ⑶ f x a x ( ) = e− 2 ， a > 0 ; ⑷ ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 0, 0; e , 0, ( ) 2 x x f x x ⑸ ⎩ ⎨ ⎧ > ≤ = 0, | | ; cos , | | , ( ) 0 δ ω δ x A x x f x ω0 ≠ 0是常数， ω0 π δ = 。 解 （1） ( ) ( ) i x f f x e dx ω ω +∞ − −∞ = ∫  0 i x Ae dx δ − ω = ∫ = (1 ) ωδ ω i e i A − − 。 （2） ( ) ( ) i x f f x e dx ω ω +∞ − −∞ = ∫  0 ( ) ( ) 0 a i x a i x e dx e ω ω +∞ − + − −∞ = + ∫ ∫ dx 1 1 a iω a iω = + + − = 2 2 2 a +ω a 。 （3） ( ) ( ) i x f f x e dx ω ω +∞ − −∞ = ∫  2 ax i x e dx ω +∞ − − −∞ = = ∫ 2 cos ax e x ω +∞ − ∫−∞ dx 2 0 2 cos t t t e d a a +∞ − ω = ∫ (利用例 15.2.8 的结果) 2 2 a e a ω π ⎛ ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = a e a 4 2 ω π − 。 （4） ( ) ( ) i x f f x e dx ω ω +∞ − −∞ = ∫  (2 ) 0 i x e dx ω +∞ − + = = ∫ 2 + iω 1 。 （5） ( ) ( ) i x f f x e dx ω ω +∞ − −∞ = ∫  = 0 cos i x A xe dx δ ω δ ω − ∫− 0 Acos x cos x δ δ ω ω − = ∫ dx（虚部为奇函数，积分为 0） 0 0 [cos( ) cos( ) ] 2 A x x dx δ δ ω ω ω ω − = − + + ∫ ＝ 0 0 0 0 sin( ) sin( ) ( ) ( ) A ω ω δ ω ω δ ω ω ω ω ⎡ − + ⎤ ⎢ + ⎥ ⎣ − + ⎦ 。 2．求 f x( ) = e− ax（ x ∈[0,+∞)，a > 0）的正弦变换和余弦变换。 解 正弦变换： 0 f ( ) ω ω f x( )sin xdx +∞ = ∫  0 sin ax e xdx 2 2 ω ω a + ω , +∞ − = = ∫ 余弦变换： 1