2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 =cos alim -x-a cosa.lime-limet-e e"·cosa·e"=cosa 对其他型的未定式(00型、∞-∞型,0°型,1型和∞°型,必须通过适当 的恒等变型,化为一或一型后,才能使用洛必达法则进行试验。 例4.38求极限l 【解】(方法1) xInx x-1 Inx) I+1(x-1)Inx lim ln (方法2) xlnx-x+1 =m s lin xInx li =lim- (x-1) 2(x-1)x12(x-1) 4.6综合例题 例439设f(x)二阶可导,且x∫(≠0,已知1m(1+x+(m 求f(0),f(0),∫"(0)。答案:f(0)=f(0)=0,f"(0)=4 【解】(方法1)首先lm(x+(x)=0,Imf(x)=0 由连续性与导数定义得到f(0)=0且f(0)=0。 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutorcom电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 x a x x a e e e x a a − − = ⋅ → 1 cos lim x a e e a e x a x a x x a − − = ⋅ → − → cos lim lim e a e a a a = ⋅ cos ⋅ = cos − 。 对其他型的未定式（00 型、∞ − ∞ 型，00 型， 型和 ∞1 0 ∞ 型)，必须通过适当 的恒等变型，化为 0 0 或 ∞ ∞ 型后，才能使用洛必达法则进行试验。 例 4.38 求极限 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → x − x x x ln 1 1 lim 1 。 【解】（方法 1） x x x x x x x x x x ( 1)ln ln 1 lim ln 1 1 lim 1 1 − − + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → − → 2 1 1 1 1 lim 1 ln ln lim 2 1 1 = + = − + = → → x x x x x x x x x 。 （方法 2） ( 1)ln(1 1) ln 1 lim ln 1 1 lim 1 1 − + − − + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − → − → x x x x x x x x x x 2 1 ( 1) ln 1 lim − − + = → x x x x x 2 1 2( 1) 1 lim 2( 1) ln lim 1 1 = − − = − = → → x x x x x x 。 4．6 综合例题 例 4.39 设 f (x) 二阶可导，且 0 ( ) + ≠ x f x x ，已知 ) , ( ) lim(1 3 1 x 0 e x f x x x + + = → 求 f (0), f ′(0), f ′′(0)。 答案： f (0) = f ′(0) = 0, f ′′(0) = 4 【解】（方法 1）首先 ) 0 ( ) lim( 0 + = → x f x x x ， 0 ( ) lim 0 = → x f x x ， 由连续性与导数定义得到 f (0) = 0 且 f '(0) = 0 。 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 6 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805