第二章多元函数微分法 o= oz ou 0za =1-+l ay oudy 0vay ay ay l2y是由方程 =u(x, y) 的x,y的隐函数,在这两个等式两 v(x, y) 端分别关于x,y求偏导数,得 I= cost uSIn y av o=cosy au_usin y av 0=sin you+ucos l=sin vou+uCos 将212,2,作为未知数解上述方程组,得到 ox ay sin u cu CoS1 =COS y ax ax 将这个结果代入前面的式子,得到 0- auu a vcoSv-sIn v sin y+ CoSy 例5设有两个可微的三元函数F(x,y,z),G(x,y,),方程组 ()」F(x,y,)=0 IG(x,y, 3)=0 是否表示一条曲线?如果是一条曲线,那么这条曲线能否整个地 表示成 二(x) +(1或者/x=x() y=y(=) 解:(1)首先,必须至少有一个点M(x0,y0,=0)满足方程(*) (2)其次,如果在点M(x0,y02=0)的行列式满足 aFaF 0 aGaG 则根据隐函数定理,在点M(x02y0,=0)的某个邻域中存在两个隐函 数y=y(x),z=-(x).这两个函数在点x0的某个邻域中(a,b)定义 于是得到一条曲线L:{y=y(x) 二=(x) 第四节隐函数微分法第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 y v u y u v y v v z y u u z y z               = + = + u,v 是由方程    = = ( , ) ( , ) v v x y u u x y 的 x, y 的隐函数，在这两个等式两 端分别关于 x, y 求偏导数，得        +   =   −   = x v u v x u v x v u v x u v 0 sin cos 1 cos sin ，        +   =   −   = y v u v y u v y v u v y u v 1 sin cos 0 cos sin 将 y v x v y u x u , , ,         作为未知数解上述方程组，得到 u v x v v y u u u x v v x u cos , sin , sin cos , =   =  −  =   =   将这个结果代入前面的式子, 得到 v v v x v u x u v x z = − = cos − sin       v v v y v u y u v y z = + = sin + cos       . 例 5 设有两个可微的三元函数 F(x, y,z),G(x, y,z), 方程组 (*)    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 是否表示一条曲线? 如果是一条曲线, 那么这条曲线能否整个地 表示成    = = ( ) ( ) z z x y y x (    = = ( ) ( ) x x y z z y 或者    = = ( ) ( ) y y z x x z )? 解： (1) 首先, 必须至少有一个点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 满足方程(*). (2) 其次, 如果在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 的行列式满足  0                     z G y G z F y F 则根据隐函数定理, 在点 ( , , ) 0 0 0 M x y z 的某个邻域中存在两个隐函 数 y = y(x),z = z(x). 这两个函数在点 0 x 的某个邻域中 (a,b) 定义. 于是得到一条曲线      = = = ( ) : ( ) z z x y y x x x L