第二章多元微分学 到,根据光程最短原理,证明反射定理:即光线途经曲面时,入 射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面 在该点法线立夹角)。 5.P是三角形ABC中的一点,从它向三边作垂直线,由垂足形成 另一个三角形DEF。试问在何处时,此新三角形面积最大? 解答参考 1.若函数z=2(x,y),由方程Fx=a =0确定,其a,b,c为 常数,F∈C2,证明 (1)由z=x(x,y)确定的曲面上任一点的切平面共点 (2)函数z=x(x,y)满足偏微分方程 02a2z(a2 证明:(法1) 22) =0→两边对x和y求导: x-a az F y-b az =0 (E-c)ax ( →切平面: →切平面总是过点(a,b,c) 第二章习题讨论第二章 多元微分学 第二章 习题讨论 到，根据光程最短原理，证明反射定理：即光线途经曲面时，入 射角(入射线与曲面在该点法线立夹角)等于反射角(反射线与曲面 在该点法线立夹角)。 5. P 是三角形 ABC 中的一点，从它向三边作垂直线，由垂足形成 另一个三角形 DEF 。试问在何处时，此新三角形面积最大？ 解 答 参 考 1. 若函数 z = z(x, y),由方程 ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F 确定，其 a,b, c 为 常数, 2 F  C , 证明： (1) 由 z = z(x, y) 确定的曲面上任一点的切平面共点； (2) 函数 z = z(x, y) 满足偏微分方程: 2 2 2 2 2 2            =      x y z y z x z . 证明：(法 1) ,  = 0      − − − − z c y b z c x a F  两边对 x 和 y 求导： ⚫ ( ) ( ) ( ) ( )        =           − − − − +             − −  − =           − − +   −           − − − −  0 1 0 1 1 2 2 2 1 2 2 2 y z z c y b z c F y z z c x a F x z z c y b F x z z c x a z c F  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 =   − + −   − −   − −   − + − y z z c y b x z x a y z y b x z z c x a  ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 = −   − −   − +   −   − − − + − − z c x z x a x z x a y z y b y z z c y b z c z c  ( ) ( ) − ( − ) = 0   + −   − z c y z y b x z x a  切平面： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 − − =   + −   − z z y z x y y y x z x y x x  切平面总是过点 (a,b,c)