微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 i fei)d (f03)(x)-rf0,da =fx(vd+/r20f、 fVx8+X()e 上述定义的Vxθ为T*M上的联络 1.5张量丛上的联络 将前述的一般定义应用至张量丛,此时 此处对v61,…,θr∈6(T“M),Y1,…,Ys∈(TM),满足 Vx(61,…,6r;Y1,…,Ys) x((,…,0;Y1,…,Y)-∑鄄O1,…,VxO,…,O,;Y1 下面研究Vx更∈6(8TM)的表达式,不失一般性,考虑更∈11TM,有 Vxφ(6,Y)X(更(0,￥)-(Vx,y)-更(6,VxY) XAy)=(7),y) 更[6dr2,X(V2)ax =Xk(,)()-X()y,一X0(y)两 =X(am2(a)+厂一几时 a2()+的一面,y (VR)adr(8,Y), 即有 此处 aΦ2 ViE (x)+Tk重.-F 可称为张量的分量砂关于坐标x的协变导数微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 3. ∇X(fθ) = Xi∇i(fθj )dx j = Xi [ ∂ ∂xi (fθj )(x) − Γ s ijfθs ] dx j = fXi (∇iθj )dx j + [ Xi ∂f ∂xi (x)(θjdx j ) ] = f∇Xθ + X(f)θ. 上述定义的 ∇Xθ 为 T ∗M 上的联络. 1.5 张量丛上的联络 将前述的一般定义应用至张量丛, 此时 ∇XΦ : C ∞(TM) × C ∞(⊗ r,sTM) ∋ {X, Φ} 7→ ∇XΦ ∈ C ∞(⊗ r,sTM). 此处对 ∀ θ1, · · · , θr ∈ C ∞(T ∗M), ∀Y 1, · · · ,Y s ∈ C ∞(TM), 满足: ∇XΦ(θ1, · · · , θr;Y 1, · · · ,Y s) , X(Φ(θ1, · · · , θr;Y 1, · · · ,Y s)) − ∑r i=1 Φ(θ1, · · · , ∇Xθi , · · · , θr;Y 1, · · · ,Y s) − ∑s j=1 Φ(θ1, · · · , θr;Y 1, · · · , ∇XY j , · · · ,Y s). 下面研究 ∇XΦ ∈ C ∞(⊗r,sTM) 的表达式, 不失一般性, 考虑 Φ ∈ ⊗1,1TM, 有 ∇XΦ(θ,Y ) , X(Φ(θ,Y )) − Φ(∇Xθ,Y ) − Φ(θ, ∇XY ) = X(Φ i ·jθiY j ) − Φ ( Xs (∇sθi)dx i , Y j ∂ ∂xj ) − Φ ( θidx i , Xs (∇sY j ) ∂ ∂xj ) = Xk ∂ ∂xk (Φ i ·jθiY j )(x) − Xk (∇kθi)Y jΦ i ·j − Xk θi(∇kY j )Φ i ·j = Xk [ ∂Φi ·j ∂xi (x)θiY j + Γ s kiΦ i ·jθsY j − Γ j ksΦ i ·jθiY s ] = Xk [ ∂Φi ·j ∂xi (x) + Γ i ksΦ s · j − Γ s kjΦ i ·s ] θiY j = Xk (∇kΦ i ·j ) ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j (θ,Y ), 即有 ∇XΦ = ∇Xk ∂ ∂xk ( Φ i ·j ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j ) = Xk (∇kΦ i ·j ) ∂ ∗ ∂xi ⊗ dx j , 此处 ∇kΦ i ·j , ∂Φi ·j ∂xk (x) + Γ i ksΦ s · j − Γ s kjΦ i ·s 可称为张量 Φ 的分量 Φ i ·j 关于坐标 x k 的协变导数. 7