解作变换{y=7,则 duddy, ay1+u2+y2+ 其中g2={uv,n)20,v≥0,w≥0) u=rsin cos 再令{v= rsin sin 8,则 2=c OS( 22 8 By aBr sin'0cosa ade sin pcos, pdo l 对于上式中所包含的前两个积分,有 52sin 0d0=J5 e]e ofcos20Ja ad sin20 22 pdo =-B Br 对于第三个积分,有 222 By dr d 1+r 1+ 因为2+2+2-1>-1,所以积分 d收敛,而积分 By 01+r 山当且仅当2+2+2-1<1即1+1+1<1时收敛。所以当 1+r a B y 时,「n d收敛,从而原积分收敛 a By 这时作变量代换r2=t,得到 d r dt =-B By 所以解 作变换 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = γ β α 2 2 2 z w y v x u ，则 dudvdw u v w u v w I ∫∫∫ Ω′ − − − + + + = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 8 α β γ αβγ ， 其中Ω′ = { } (u,v,w) | u ≥ 0,v ≥ 0,w ≥ 0 。 再令 ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z r v r u r ∫ − − = 2 0 1 2 1 2 sin cos 8 π β α θ θ θ αβγ I d ∫ + − − 2 0 1 2 1 2 2 sin cos π α β γ ϕ ϕdϕ ∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ 。 对于上式中所包含的前两个积分，有 ∫ − − 2 0 1 2 1 2 sin cos π β α θ θdθ = ( ) ( ) ∫ − − 2 0 2 1 1 2 1 1 2 sin cos sin 2 1 π θ β θ θ α θd θ 1 1 1 1 1 0 1 1 (1 ) ( , ) 2 2 t t dt β α 1 1 α β − − = − = Β ∫ ； ∫ + − − 2 0 1 2 1 2 2 sin cos π α β γ ϕ ϕdϕ ) 1 , 1 1 ( 2 1 α β γ = Β + 。 对于第三个积分，有 ∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ + + = ∫ + + − 1 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ ∫ +∞ + + − + 1 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ 。 因 为 1 1 2 2 2 + + − > − α β γ ，所以积分 ∫ + + + − 1 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ 收敛，而积分 ∫ +∞ + + − + 1 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ 当且仅当 1 1 2 2 2 + + − < α β γ 即 1 1 1 1 + + < α β γ 时收敛。所以当 1 1 1 1 + + < α β γ 时，∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ 收敛，从而原积分收敛。 这时作变量代换r 2 = t ，得到 2 2 2 1 1 1 1 1 2 0 0 1 1 2 1 r t dr dt r t α β γ α β γ + + − + + − +∞ +∞ = + + ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 1 ,1 2 B α β γ α β γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ + −⎜ ⎟ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 。 所以 4