B By r()r(r()I(1 aBy a B r 注对积分 B d,也可令r=tanO,同样得到 1+r B dr= 2(tan b)a 2(sine) B 8.计算 1=xm-ly(1-x-y)p-ldxdy 其中D是由三条直线x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域,m,n,p 均为大于0的正数 解作变换 =x+ym(x=m(-y,且xy)=m,这变换将区域D映 y=un d(u,v) 照成正方形: (x)0≤a≤1,0≤≤1 于是 =-(-0)2dy-(a-n)-h=B(m+n,DB(nm) r(mr(nr(p) T(m+n+ p) 注当p>1时也可以有如下解法 将积分化成 I=(p-DJJxm-y-=-dxdydz 其中g是由平面x=0,y=0,x=0与x+y+z=1所围的区域I = 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) αβγ α β α β γ Β Β + 1 1 1 1 1 1 ,1 α β γ α β γ ⎛ ⎞ Β + ⎜ ⎟ + − − − ⎝ ⎠ ) 1 1 1 ) (1 1 ) ( 1 ) ( 1 ( 1 αβγ α β γ α β γ = Γ Γ Γ Γ − − − 。 注 对积分∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ ，也可令r = tanθ ，同样得到 ∫ +∞ + + − + 0 2 1 2 2 2 1 dr r r α β γ ( ) ∫ + + − = 2 0 1 2 2 2 tan π θ α β γ dθ ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = Β + + − − − ∫ + + − − − − α β γ α β γ θ θ θ π α β γ α β γ 1 1 1 ,1 1 1 1 2 1 sin cos 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 d 。 8．计算 ∫∫ − − − = − − D m n p I x y x y dxdy 1 1 1 (1 ) ， 其中D是由三条直线 x = 0，y = 0及 x + y = 1所围成的闭区域，m, n, p 均为大于 0 的正数。 解 作变换 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = + x y y v u x y ，则 ，且 ⎩ ⎨ ⎧ = = − y uv x u(1 v) u u v x y = ∂ ∂ ( , ) ( , ) ，这变换将区域 映 照成正方形： D {(u,v) 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1}。 于是 (1 ) (1 ) ( , ) ( , ) 1 0 1 1 1 0 1 1 I u u du v v dv m n p n m m n p n m = − − = Β + Β ∫ ∫ + − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) m n p m n p Γ + + Γ Γ Γ 。 注 当 p > 1时也可以有如下解法： 将积分化成 ∫∫∫ Ω − − − I = p − x y z dxdydz m 1 n 1 p 2 ( 1) ， 其中Ω是由平面 x = 0， y = 0， z = 0与 x + y + z = 1所围的区域。 5