u= rsin (p cose 再令{y=n2与{v= rsin sin,就得到 2=rcos p I=8(p-12sinm-8 cos2m-ed0 sin 2m+2n-1 DD cOS do lo 2m+2n+2p-3 其中 2sin2n-acos2m-0d0=52(sin20)"-(-sin20)m-dsin20=B(n, m) s 512(sin)"-(1-sin p)p-dsin p=B(m+n,p-1), 2 2 2m+2n+2p-3dr2(m+n+P=1 于是 B(n, m)B(m+n, p-l r(m)r(nr(p) m+n+ p T(m+n+ p) 9.证明[ 2 tan" xdx (|ak1)。 证5m”k= e sin"xcos" xdx=Be a+11-a a+1 丌2cos 2 10.证明 do 1(1+k 1+cos p 1+kcos 1+k(VI-k smn-丌 0<a<2,0<k< 证作变量代换t=tan9,则 I+coso 1+kcos J0(1+k)+(1-kt 再作变量代换,-6=tmnO,则再令 与 ，就得到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 2 2 2 z w y v x u ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z r v r u r ∫ − − = − 2 0 2 1 2 1 8( 1) sin cos π I p θ θdθ n m ∫ + − − 2 0 2 2 1 2 3 sin cos π ϕ ϕdϕ m n p ∫ 1 + + − 0 2 2 2 3 r dr m n p 。 其中 ∫ − − 2 0 2 1 2 1 sin cos π θ θdθ n m ( , ) 2 1 (sin ) (1 sin ) sin 2 1 2 0 2 1 2 1 2 d n m n m = − = Β ∫ − − π θ θ θ ， ∫ + − − 2 0 2 2 1 2 3 sin cos π ϕ ϕdϕ m n p ( , 1) 2 1 (sin ) (1 sin ) sin 2 1 2 0 2 1 2 2 2 = − = Β + − ∫ + − − d m n p m n p π ϕ ϕ ϕ ， ∫ 1 + + − 0 2 2 2 3 r dr m n p 2( 1) 1 + + − = m n p ， 于是 Β Β + − = + + − − = ( , ) ( , 1) 1 1 n m m n p m n p p I ( ) ( ) ( ) ( ) m n p m n p Γ + + Γ Γ Γ 。 9．证明 2 2cos tan 2 0 απ π π α = ∫ xdx （|α |< 1）。 证 xdx x xdx α π α π α − ∫ ∫ tan = sin cos 2 0 2 0 ) 2 1 , 2 1 ( 2 1 α + −α = Β 2 2cos 2 1 2sin 2 1 2 1 2 1 απ π π α α α π = + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = Γ 。 10．证明 π α π ϕ ϕ ϕ ϕ α π α 2 sin 1 1 1 1 1 cos 1 cos sin 0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∫ − k k k k d （0 < α < 2, 0 < k < 1）。 证 作变量代换 2 tan ϕ t = ，则 ∫ ∫ +∞ − − + + − = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + 0 2 1 0 1 (1 ) (1 ) 2 1 cos 1 cos sin k k t t dt k d α π α ϕ ϕ ϕ ϕ ， 再作变量代换 tanθ 1 1 = + − t k k ，则 6