对应的齐次线性方程组HX=0只有零解,所以a1,a2,a3线性无关 2132 1-30-2 ②令H=(a12C2,C3 0224 0224 0-53-210-53 0-53-2 0016/516/50011 0-5114)(00-216)(00018 对应的齐次线性方程组HX=0只有零解,所以a1,a2,a3,a1线性无关 3.设向量组(a1,a2,a3}线性无关,下述向量组哪些线性无关? ①0,a2,a3} ②{a2,a1+a3,a2} ③{(a1+2a2a23a3,a2+a3,a1+4a2+a3} ④{a1,4a1-3a2} ⑤{a1+a2,a2+a3,ata1} 答①②③线性相关,④⑤线性无关 4.如果向量组{a1,a2}线性相关,必定有k∈F使a=ka2吗?如果向量组{a,a,…,a}线性无 关,则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗? 答如果向量组{a,a2}线性相关,不一定有k∈F使a1=ka2,例如当a1≠0,a2=0时,显然 {a,a2}线性相关,但不存在k∈F使a1=ka2 如果向量组{1,a2,…,a,线性无关,则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出.否 则,利用反证法,假设有一个向量a能由其余向量线性表出,先写成表示形式,然后通过移 项可知与线性无关相矛盾 5.设β∈(a1,a2,…,a,a1),但βg(a1,a2…,a).证明 a-1∈(a1,a,…,a,B) 证因为β∈(a,a2…,a,a-),所以存在数k,k,…,k,k使 其中必有k。≠0,否则β可由a1,a2,…,a线性表出,这与Bg(a1,a,…,a)想矛盾.将上 式移项后两边乘以得 B 即a∈(a1,a,…,a,B) 习题4.4对应的齐次线性方程组 HX=0 只有零解，所以α1，α2，α3线性无关． ②令 H=           3 4 1 8 0 2 2 4 1 3 0 2 2 1 3 2 ( , , , ) 1  2 3  4 →         3 4 1 8 0 2 2 4 2 1 3 2 1 3 0 2 →            0 5 1 14 0 2 2 4 0 5 3 2 1 3 0 2 →            0 0 2 16 0 0 16 / 5 16 / 5 0 5 3 2 1 3 0 2 →           0 0 0 18 0 0 1 1 0 5 3 2 1 3 0 2 对应的齐次线性方程组 HX=0 只有零解，所以α1，α2，α3，α4线性无关． 3.设向量组{α1,α2,α3}线性无关，下述向量组哪些线性无关？ ①{0,α2,α3} ②{α2,α1+α3,α2} ③{α1+2α2,α2-3α3,α2+α3,α1+4α2+α3} ④{α1,4α1-3α2} ⑤{α1+α2,α2+α3,α3+α1} 答 ①②③线性相关，④⑤线性无关． 4.如果向量组{α1,α2}线性相关，必定有 k∈F 使α1=kα2吗？如果向量组{α1, α1,…，αs}线性无 关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出吗？ 答 如果向量组{α1,α2}线性相关，不一定有 k∈F 使α1=kα2，例如当α1≠0，α2=0 时，显然 {α1,α2}线性相关，但不存在 k∈F 使α1=kα2． 如果向量组{α1, α2,…，αs}线性无关，则其中每一个向量都不能由其余向量线性表出．否 则，利用反证法，假设有一个向量αi能由其余向量线性表出，先写成表示形式，然后通过移 项可知与线性无关相矛盾． 5 *.设β∈(α1, α2,…，αs, αs+1),但β(α1, α2,…，αs)．证明： αs+1∈(α1, α2,…，αs,β) 证 因为β∈(α1, α2,…，αs, αs+1),所以存在数 k1,k2,…,ks,ks+1使 β=k1α1+k2α2+…+ksαs+ks+1αs+1 其中必有 ks+1≠0，否则β可由α1, α2,…，αs线性表出，这与β(α1, α2,…，αs)想矛盾．将上 式移项后两边乘以 1 1 s k 得      1 1 2 1 2 1 1 1 1 1            s s s s s s s k k k k k k k  即αs+1∈(α1, α2,…，αs,β) 习题 4.4