章定积分 63-2N一L公式 定理:(牛顿一菜布尼茨公式)设f∈C[a,b],G(x)是f(x) 在[a,b]上的一个原函数,则有 ∫∫(x)dx=G(b)-G(a) 证明:因f∈C[ab],则变上限积分F(x)=「f()在区间[ab 上是∫(x)的一个原函数,并且按照F(x)的定义有 b ∫f(x)dx=F(b)-F(a) 今G(x)是f(x)在[a,b上另一个原函数,则存在常数c,使得 F(x)≡G(x) 再利用条件F(a)=「f(o)t=0,确定常数c F(a=G(a)+c=0=c=-G(a 于是,F(x)≡G( f(x)dx= F(b)-F(a=G(b)-G(a) f(x)dx=G(b)-G(a) 这就是 Newton-- Leibniz公式,又称微积分基本公式。 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 dF(x)=F(b)-F(a 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的,所以称之为牛顿一莱布 尼茨公式.这个公式把计算定积分与求原函数,这两个看来不太有关的 问题联系在一起,从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。G(b)-G(a)=F(b)-F(a),因此对于f(x) 在[a,b]上的任何一个原函数都有 牛顿一莱布尼茨公式又可以写成 ∫dF(x)=F(b)-F( 例2:计算定积分 解:因为√1+x2在区间[O,是被积函数X一个原函数,根 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 6-3-2 N－L 公式 定理 : ( 牛顿—莱布尼茨公式) 设 f C[a,b], G(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数, 则有 f (x)dx G(b) G(a) b a  = − . 证明：因 f C[a, b], 则变上限积分  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数, 并且按照 F(x) 的定义有 f (x)dx F(b) F(a) b a  = − . 今 G(x) 是 f (x) 在 [a, b] 上另一个原函数, 则存在常数 c ,使得 F(x)  G(x) + c。 再利用条件 ( ) = ( ) = 0  a a F a f t dt , 确定常数 c : F(a) = G(a) + c = 0  c = −G(a), 于是, F(x)  G(x) − G(a), f (x)dx F(b) F(a) G(b) G(a) b a = − = −  写成： b a b a f (x)dx = G(b) − G(a) = G(x)  这就是 Newton---Leibniz 公式，又称微积分基本公式。 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − 这个公式是由牛顿和莱布尼茨独立完成的, 所以称之为牛顿—莱布 尼茨公式. 这个公式把计算定积分与求原函数, 这两个看来不太有关的 问题联系在一起, 从而给出了计算定积分的一个有效的方法。这是数学 历史发展中的重大发现。 G(b) −G(a) = F(b) − F(a),因此对于 f (x) 在 [a, b] 上的任何一个原函数都有 牛顿—莱布尼茨公式又可以写成 dF(x) F(b) F(a) b a  = − . 例 2:计算定积分  + 1 0 2 1 dx x x 解: 因为 2 1+ x 在区间 [0,1] 是被积函数 2 1 x x + 一个原函数，根