高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 式中倒数第二行使用了向量的内蕴正交分解. 综上所述,一般形式的 Frenet标架可以表示为 1.切向量:r(t) r(t)×(T(t)×(t) 2.主法向量:n(t)=P()a(t)xP(t)lR r(t)×(t) 3.副法向量:b(t)=() 其运动方程为 (+0)i()bo)=(r()mn()b()a0 r(t)IRk(t) r(t)n(t) b(t)|lr(t)lR3K(t) r(tIRso(t)I r(tIRso(t) 式中曲率(=上),率o0=pr0xg 13曲线的局部参数化 2应用事例 事例1(三维空间中质点轨迹的速度及加速度表达形式).首先,推导速度表达式 V会=as()a()=(Olar(), 式中|v(t)k3称为速率.然后,推导加速度表达式 d dt(T(s)+v()as ds(s)dt (t)T(s)+V(t)123*(s)n(s) 可见,三维轨迹的加速度相对于切向量的分量为速率的时间变化率,相对于主法向量的分量 为速率的平方乘以曲率半径,相对于副法向量的分量为零 3建立路径微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 式中倒数第二行使用了向量的内蕴正交分解. 综上所述, 一般形式的 Frenet 标架可以表示为 1. 切向量：τ (t) = r˙(t) |r˙(t)|R3 ; 2. 主法向量：n(t) = − r˙(t) × (r˙(t) × r¨(t)) |r˙(t)|R3 |r˙(t) × r¨(t)|R3 ; 3. 副法向量：b(t) = r˙(t) × r¨(t) |r˙(t)| 3 R3 . 其运动方程为 ( τ˙(t) n˙ (t) ˙b(t) ) = ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) ds dt (t) = ( τ (t) n(t) b(t) )   0 −|r˙(t)|R3 κ(t) 0 |r˙(t)|R3 κ(t) 0 −|r˙(t)|R3 σ(t) 0 |r˙(t)|R3 σ(t) 0   , 式中曲率 κ(t) = |r˙(t) × r¨(t)|R3 |r˙(t)| 3 R3 , 挠率 σ(t) = [r˙(t), r¨(t), ... r (t)] |r˙(t) × r¨(t)| 2 R3 . 1.3 曲线的局部参数化 2 应用事例 事例 1 (三维空间中质点轨迹的速度及加速度表达形式). 首先, 推导速度表达式 V , r˙ = dr ds (s) ds dt(t) = |V (t)|R3 τ (s), 式中 |V (t)|R3 称为速率. 然后, 推导加速度表达式 a , V˙ = d|V |R3 dt (t)τ (s) + |V (t)|R3 dτ ds (s) ds dt(t) = d|V |R3 dt (t)τ (s) + |V (t)| 2 R3 κ(s)n(s). 可见, 三维轨迹的加速度相对于切向量的分量为速率的时间变化率, 相对于主法向量的分量 为速率的平方乘以曲率半径, 相对于副法向量的分量为零. 3 建立路径 6