为了直观地导出计算∫”f(x)d的近似公式,不妨先假设∫是非负函数,实际 上其结论适用于任意值的可积函数。 把[a,b等分为n个小区间,即在[ab间插入分点(图3.3,1) a+1 i=0,1 显然,每个小区间的长度为二a。设y=f(x) 对应于每个分点的函数值分别为 以直线x=x;(i=1,2,…,n-1)把由直线 x=a,x=b,x轴及y=f(x)围成的曲边形 图3.3.1 分割为n个小曲边形。在每个小区间[x21,x,]上,用连结(x-1,y)和(x2,y)的直 线段代替曲线段y=f(x)(x1≤x≤x),以小梯形面积作为原小曲边形面积的 近似,即 f(x)dx=-+y)( (y-1+y) 于是, f(x)dx f(x)dx 整理后即得 f(x、b-a y0+(x1+ 这就是近似计算定积分值的梯形公式。若∫"在[a,b]上连续,M=maxf(x)|, 则以上近似公式的误差En有如下估计(证明从略) En≤ M(b-a)( b 二.抛物线公式( Simpson公式) 在梯形公式中,对应于每个小区间[x-1,x],替代曲边形顶部的曲线段是直 线段,即以一次函数替代y=f(x)。由此设想,如 果以二次函数代替y=f(x),即以抛物线段替代曲 线段,将能提高积分近似值的精确度 y=ax t Ax+ 为此,在[ab]中插入分点 V x:=a+1 i=0,1,2,…2n。 f(r) 得到n个小区间[x2-2,x2,](=1,2,…,n)。在每个 小区间[x2=2,x2]上,找一个在x2=2,x2,x2处 取值与∫相同的二次函数(图3.3.2),设为 g,(x)=ax+Bx+r, xELx2i-2,x2i] 以抛物线y=g;(x)代替y=f(x),得到 图332为了直观地导出计算  b a f (x)dx 的近似公式，不妨先假设 f 是非负函数，实际 上其结论适用于任意值的可积函数。 把 [a,b] 等分为 n 个小区间，即在 [a, b] 间插入分点（图 3.3.1） n b a x a i i    ，i  0,1,  , n。 显然，每个小区间的长度为 n b  a 。设 y  f (x) 对应于每个分点的函数值分别为 n y , y , , y 0 1  。 以直线 i x  x （ i 1, 2,  , n 1 ）把由直线 x  a， x  b， x 轴及 y  f (x) 围成的曲边形 分割为 n 个小曲边形。在每个小区间 [ , ] i 1 i x x  上，用连结 ( , ) i1 i1 x y 和 ( , ) i i x y 的直 线段代替曲线段 y  f (x) （ i i x  x  x 1 ），以小梯形面积作为原小曲边形面积的 近似，即 ( )( ) 2 1 ( ) 1 1 1        i i i i x x f x dx y y x x i i ( ) 2 i 1 i y y n b a     ， 于是，      n i x x b a i i f x dx f x dx 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 i i n i y y n b a       。 整理后即得               2 ( ) 2 ( ) 1 1 0 n n b a y y y y n b a f x dx  。 这就是近似计算定积分值的梯形公式。若 f  在 [a, b] 上连续， max | ( ) | [ , ] M f x x a b    ， 则以上近似公式的误差 En 有如下估计（证明从略）： 2 12 ( ) | |          n M b a b a En 。 二.抛物线公式（Simpson 公式） 在梯形公式中，对应于每个小区间 [ , ] i 1 i x x  ，替代曲边形顶部的曲线段是直 线段，即以一次函数替代 y  f (x) 。由此设想，如 果以二次函数代替 y  f (x) ，即以抛物线段替代曲 线段，将能提高积分近似值的精确度。 为此，在 [a,b] 中插入分点 n b a x a i i 2    ， i  0,1,2, 2n。 得到 n 个小区间 [ , ] 2i 2 2i x x  (i 1,2,  ,n) 。在每个 小区间 [ , ] 2i 2 2i x x  上，找一个在 2i2 x ， 2i1 x ， i x2 处 取值与 f 相同的二次函数（图 3.3.2），设为 g x x x r i     2 ( ) ， x[ , ] 2i 2 2i x x  。 以抛物线 y g (x)  i 代替 y  f (x) ，得到 y O a x b x i-1 xi 图 3.3.1