·358 智能系统学报 第14卷 的，a=a,则有： 并且各个子群的最终状态趋于该子群虚拟领导者 262 名，eee 的状态。 推论1通信拓扑图是无向连通的，控制协 (15) 226w-交6wn 议(7)中不考虑牵制策略的作用下，由(1)(3)组 成的异质多智能体系统也能够实现群一致性。 1=1 将式(15)代入式(14)可得： 证明考虑李雅普诺夫函数： 2a6 v=22ae-e+立it 1j1 (25) -222a--222-n (16) 41 将式(13)式(16)代入到式(12)可得： 对李雅普诺夫函数求导化简后可得 0-2- -22e-②6- 26) 2hib-2om (17) 2-2as0 41 同理由引理1可知，当7=0时，有 2-2a-2a0 4=0,i=l+1,1+2,…,n ∑ae-e)=0.i=1,2.…,1 (27) 由引理1，最大不变集M满足： e=0,i=1,2,…,1 y4=0,i=l+1,1+2,…,n (18) 由式(27)可得： 2o-a-A1 由式(10)和(18)可得，最大不变集M满足： w0 (28) (19) (29) y,=0,i=1+1,l+2,…,n 含立ww-… 显然有 式(28)、式(29)相加可得： 22a6-0b0 (20) -2ae,-er=0 (30) 11 豆ge-a=0 (21) 由式(27)和式(30)可知，最大不变集M可化为 e=e,ij=1,2,…,n 1y=0,i=1+1,1+2,…,n (31) 联立式(20)和式(21)可得 -22a6e-2妖=0 将e,=x-x代人到式(31)中，可以得到： (22) limc()-x()外=0，c,=oj 由式(22)可得最大不变集M为 i,je{1,2,…,nl,Yc,0j∈1,2，…，k limr()-x()≠0c:≠oj (32) e(t)=0,i=1,2,…,n :()=0i=1+1,l+2,…,n (23) i,je{1,2,…,,oo,∈{1,2，…，k 1imle,(t圳=0，iel+1,l+2,…,n 将e:=x-x,代入到式(23)，可以知道对于x(0 综上所述，推论1得证。 v(0.当t→o有： limx:(t)-x(t)=0.: 注2所提控制协议中只需满足无向固定拓扑 i,je{1,2,…,nl,Yo0j∈(1,2，…，k 是连通的条件就能实现异质多智能体系统的群 limx()-x(t)≠0，≠o 致性，从而放宽了文献[5-6中实现群一致性的条件。 ije{1,2,…,n,o,0e{1,2,…,k (24) 3数值仿真 lim xi(t)-xo=0.:=j ij∈1,2，…，n,o,0)∈{1,2，…，k 通过MATLAB仿真平台来验证所提群一致 limllv (t)ll=0,vie(+1,1+2.....n) 性控制协议的可行性，考虑一个由两个一阶结构 综上所述，由式(1)(3)组成的异质多智能体 的智能体（智能体1、2）、两个二阶结构的智能体 系统在控制协议（⑦）的作用下可实现群一致性， (智能体3、4)和两个EL智能体（智能体5、6）构成的，ai j = aji ，则有： ∑n i=1 ∑l j=1 ai j( ej −ei ) e˙j = − ∑l i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei ) e˙i ∑n i=1 ∑l j=1 ai j( ej −ei ) vi = − ∑l i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei ) vj (15) 将式 (15) 代入式 (14) 可得： ∑n i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei ) (e˙j −e˙i ) = −2 ∑l i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei ) e˙i −2 ∑n i=l+1 ∑n j=1 ai j( ej −ei ) vi (16) 将式 (13)、式 (16) 代入到式 (12) 可得： . V (t) = −2 ∑n i=m+1 v T i λvi−2 ∑l i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei )T e˙i+ 2 ∑l i=1 bie T i e˙i −2 ∑m i=l+1 v T i κvi= −2 ∑n i=m+1 v T i λvi −2 ∑l i=1 (e˙i) 2 −2 ∑m i=l+1 v T i κvi ⩽ 0 (17) 由引理 1，最大不变集 M 满足： { e˙i = 0, i = 1,2,··· ,l vi = 0, i = l+1,l+2,··· ,n (18) 由式 (10) 和 (18) 可得，最大不变集 M 满足：    ∑n j=1 ai j( ej −ei ) −biei = 0, i = 1,2,··· ,l vi = 0, i = l+1,l+2,··· ,n (19) 显然有 ∑n i=1 ei ∑n j=1 ai j( ej −ei ) −biei = 0 (20) ∑n j=1 ej ∑n j=1 ai j( ej −ei ) −biei = 0 (21) 联立式 (20) 和式 (21) 可得 − ∑n i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei )2 −2 ∑n i=1 die 2 i = 0 (22) 由式 (22) 可得最大不变集 M 为 { ei(t) = 0, i = 1,2,··· ,n vi(t) = 0, i = l+1,l+2,··· ,n (23) ei = xi − xσi x(0) v (0) t → ∞ 将 代入到式 (23)，可以知道对于 、 ，当 有:    lim t→∞ xi(t)− xj(t) = 0, σi = σj ∀i, j ∈ {1,2,··· ,n},∀σi ,σj ∈ {1,2,··· , k} lim t→∞ xi(t)− xj(t) , 0, σi , σj ∀i, j ∈ {1,2,··· ,n},∀σi ,σj ∈ {1,2,··· , k} lim t→∞ xi(t)− xσi = 0, σi = σj ∀i, j ∈ {1,2,··· ,n},∀σi ,σj ∈ {1,2,··· , k} lim t→∞ ∥vi(t)∥ = 0,∀i ∈ {l+1,l+2,··· ,n} (24) 综上所述，由式 (1)~(3) 组成的异质多智能体 系统在控制协议 (7) 的作用下可实现群一致性， 并且各个子群的最终状态趋于该子群虚拟领导者 的状态。 推论 1 通信拓扑图是无向连通的，控制协 议 (7) 中不考虑牵制策略的作用下，由 (1)~(3) 组 成的异质多智能体系统也能够实现群一致性。 证明 考虑李雅普诺夫函数： V = 1 2 ∑n i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei )2 + ∑m i=l+1 v T i vi+ ∑n i=m+1 v T i Mi ( ei+xσi ) vi (25) 对李雅普诺夫函数求导化简后可得 V˙ =−2 ∑l i=1   ∑n j=1 ai j( ej −ei )   T   ∑n j=1 ai j( ej −ei )   − 2 ∑n i=m+1 v T i λvi −2 ∑m i=l+1 v T i κvi ⩽ 0 (26) 同理由引理 1 可知，当 V˙ = 0 时，有    vi = 0, i = l+1,l+2,··· ,n ∑n j=1 ai j( ej −ei ) = 0, i = 1,2,··· ,l (27) 由式 (27) 可得： ∑n i=1 ei ∑n j=1 ai j( ej −ei ) = 0 (28) ∑n j=1 ej ∑n i=1 ai j( ei −ej ) = 0 (29) 式 (28)、式 (29) 相加可得： − ∑n i=1 ∑n j=1 ai j( ej −ei )2 = 0 (30) 由式 (27) 和式 (30) 可知，最大不变集 M 可化为 { ei = ej , i, j = 1,2,··· ,n vi = 0, i = l+1,l+2,··· ,n (31) 将 ei = xi − xσi代入到式 (31) 中，可以得到：    lim t→∞ xi(t)− xj(t) = 0, σi = σj ∀i, j ∈ {1,2,··· ,n},∀σi ,σj ∈ {1,2,··· , k} lim t→∞ xi(t)− xj(t) , 0, σi , σj ∀i, j ∈ {1,2,··· ,n},∀σi ,σj ∈ {1,2,··· , k} lim t→∞ ∥vi(t)∥ = 0,∀i ∈ {l+1,l+2,··· ,n} (32) 综上所述，推论 1 得证。 注 2 所提控制协议中只需满足无向固定拓扑 是连通的条件就能实现异质多智能体系统的群一 致性，从而放宽了文献[5-6]中实现群一致性的条件。 3 数值仿真 通过 MATLAB 仿真平台来验证所提群一致 性控制协议的可行性，考虑一个由两个一阶结构 的智能体 (智能体 1、2)、两个二阶结构的智能体 (智能体 3、4) 和两个 EL 智能体 (智能体 5、6) 构成 ·358· 智 能 系 统 学 报 第 14 卷