6 第一章线性规划基础 解如图1-1，建立以1和2为坐标轴的直角坐标系，则第一象限（包括坐标轴）是 满足非负约束1≥0和2≥0的一切点的集合.问题中的每一个约束表示一个半平面， 将题目中的3条不等式约束条件方程改成等式方程画出直线，这3条直线左下方（包括 直线本身)和两条坐标轴围成的平面区域(3个半平面在第一象限的公共部分)，就是满足 所有约束条件的点的集合，称为可行域 目标函数z=61+4红2在坐标平面上，表示以z为参数的一族平行直线.其中的任 意一条，是产生相同利润的点的集合，称为等值线。例如6证1+4红2=12直线上所有的点 都产生12元的利润.另外，目标函数z=6z1+4红2在任一点的梯度方向为(6,4)，与目标 函数的等值线垂直。沿梯度方向目标函数值增大，沿相反方向则使目标函数值减小.按此 原则，将直线61+42=12沿右上方平行移动所得的直线，就 是目标函数比12大的直线.因为我们要使目标函数值最大，就希望找到一条使：值 尽可能大，但至少包含可行域内一点的等值线，这就是图1-1中：=6的等直线.任 z>36的等直线上将不包含可行域内的点.因此z=36就是这个问题的最大利润，此等 值线上唯一属于可行域内的点为(2,6)，即1=2,2=6是这个间题的最优解注意这 点正好是直线21+2=10和1+2=8的交点，也就是构成可行域的多边形的顶点。 101 2x1+x2=10 8 x2=7 6 2,6) 24 4 =36 2 x1+2=8 =12 图1-1 表1-3 顶点 2=6x1+42 T2 0 1 7 34 36 306 ÷✇ørùûú✱ü✱ý✱þ✱ÿ✁￾ Ø ✗èò 1–1, ➥ä➦❅ x1 ❿ x2 ❨èøä❭èù✙✣ ♦øä❭❸äõ ♥➅❝✁úÕ (➀è➁øä❭èù) ♦ ì✱í✝✁✞✁☎✁✆ x1 ≥ 0 ❿ x2 ≥ 0 ✙✱❝✱ö✁û✱✙✁ü✁✚. ✚✱✛ ✒✙✰ ❝✱❞☎✁✆Ð✁☞✱❝✱❞✁ý✁Ï✱➼✱õ ➲ ✛ ❩ ✒✙ 3 é Ü✳✱î☎✁✆é✱ê➈✁❷✁þ✱●✳✱î➈✁❷, ÿ ❙ ✣ ❧, ■ 3 é✣ ❧✁➛✱✘✱➈ (➀✁➁ ✣ ❧✱➠✁￾) ❿✱➽éø✱❭✁ù ➱r●✱✙✁Ï✱➼✁✂✁✄ (3 ❞✁ý✁Ï✱➼✌➅❝✁úÕ ✙✁✾✁❴✁☎✱❣), ❺ ♦ì✱í ➭✱✥☎✁✆é✱ê✙✁û✱✙✁ü✁✚, ✄❨ á✁✆✁✝. ❩❪❭✁✱❤ z = 6x1 + 4x2 ✌ø✱❭Ï✱➼✁❪, Ð✁☞✱❅ z ❨Û✱❤✱✙✱❝✁✞✁Ï✱❽✣ ❧. ♣ ✒✙✱❁ ➌❝ é , ♦✎✱✍✁✟â✻✱✼✙✁û✱✙✁ü✁✚, ✄❨✡✠✁☛✁s. ✙✱✗ 6x1 + 4x2 = 12 ✣ ❧✁❪✱➭✱✥✱✙✁û, ✃ ✎✱✍ 12 Ò✱✙✻✱✼. ï✱ð, ❩❪❭✁✱❤ z = 6x1 + 4x2 ✌ ❁✱❝✁û✱✙✁☞✁♣✱➈❲❶❨ (6, 4), ◆ ❩❪❭ ✱❤✱✙✳✷ ❧✁✌✣ . ✍✁☞✁♣✱➈❲❶ ❩❪❭✁✱❤ ✷✁✎✱✹, ✍ ✟✁✏➈❲❶r♥✱✶ ❩❪❭✁✱❤ ✷ ➡ ✭ . ✎ë ✯ ♥, ➲✣ ❧ 6x1 + 4x2 = 12 ✍✁✑✁❪✱➈✁Ï✱❽✁✒✁✻✱➭✱Ú✱✙✣ ❧, ❺ ♦ ❩❪❭✁✱❤✇✈ 12 ✹ ✙✣ ❧. ß❨✂☛❢✱✶ ❩❪❭✁✱❤ ✷✱✸✱✹, ❺✁✓✁✔✁✹✱✖✱❝é ✶ z ✷ ✕× ✦✹ , ö☞➋❇ ➀ ❻☞×❽✖✄✃❐❘❝✠û☞✙✳✷ ❧, ■☞❺♦ ò 1–1 ✒ z = 36 ✙✳✣ ❧. ❁☞❝ z > 36 ✙✳✣ ❧✁❪➲ Ü✁➀❻✱×❽✁✄✃❐r✙✠û. ß✱ë z = 36 ❺ ♦■✱❞✱✚✱✛✱✙✸✱✹✱✻✱✼, ë✳ ✷ ❧✁❪✁✗✱❝✁✘✱❍× ❽✁✄❲❐r✙✁û❨ (2, 6), ✙ x1 = 2,x2 = 6 ♦■✱❞✱✚✱✛✱✙✸q ➜. ✚ ➌■✱❝ ûô✺♦✣ ❧ 2x1 + x2 = 10 ❿ x1 + x2 = 8 ✙✁✛✁û, ❜✱❺♦ ❵✱●× ❽✁✄✱✙✁◗✁✜✱➂✁✢✁✣✁û. x1 + x2 = 8 (2, 6) x2 = 7 2x1 + x2 = 10 z=12 z=24 z=36 ✲ x1 0 2 4 6 8 10 ✻ x2 0 2 4 6 8 10 ò 1–1 ✤ 1–3 ✣✁û z = 6x1 + 4x2 x1 x2 0 0 0 0 7 28 1 7 34 2 6 36 5 0 30