$1.3线性规划问的图解法 5 一般情况下松弛变量和多余变量在目标函数中的系数C=0: 4.若有一个变量k没有非负约束（称为自由变量），为了满足标型对变量的非负 要求，可令xk=-xm,其中≥0，xm≥0.由于可能大于xm ,也可能小于xm,所以xk可能为正，也可能为负。 例3.将下列线性规划问题化为标准型： min x=T1+2x2 满足 2x1+3x2≤6. 1+2≥4 王1-z2=3, x1≥0. 解对自由变量2作楷换，令2=3一x4,其中3≥0，x4≥0.再引入松跑变量 ,多余变量6，得： ma 2x3+2z4 足 2x1+3x3-3z4+x5=6, I+T3-TA-T6=4. 1-+4=3 x5≥0，j=1,3,4,5,6. 线性规划问题模型都包含有如下基本的假设：()成比例性：2)独立性：(3)可分性：4确 定性所谓成比例性就是同一个问题的同一活动范围内，某一活动对目标函数的贡献和 对资源的消耗与活动的水平成正比例.成比例性假设将保证目标函数和约束条件为线性 的.在实际生活中，真正的线性是少有的，对此类问题有时可用线性规划模型近似地描述， 所谓独立性指任一变量的参数c和a,对其它变量不产生影响.例如，例1中生产产 品甲得到的利润不受产品乙的数量的影响，如果没有这个假定，问 题就复杂化了.所谓可分性就是允许变量取值带小数所谓确定性就是假设所有参 数C、a,和都是确定的.遇到不确定的情况，可利用灵敏度分析、参数规划或随机线性 规划来解决 S1.3线性规划问题的图解法 只有两个或三个变量的线性规划问题，可以用图解法来求解.图解法简单直观，便于 理解线性规划问题的基本概念和求解的基本原理，但实用价值不大下面用例1来说明线 性规划问题的图解法 例4.用图解法解例1中的线性规划问题例1的数学模型为 max z=6r1+4x2 满足 21+x2≤10， x1+x2≤8. x2≤7， ≥0，对一切 §1.3 ú✱ü✱ý✱þ❲❱✭❳❲❨✁➥✭➦❲➧ 5 ❝✁✌✁➨✁➩✱✘, ➫✁➭✁✖Û ❿✁◗✁➯✁✖Û✱✌ ❩❪❭✁✱❤ ✒✙✁❸✱❤ cj = 0; 4. ☛✱✥✱❝✱❞✁✖Û xk ➞ ✥ ✝✁✞✁☎✁✆ (✄❨➳➲✭➵✓✁✔), ❨ ❛ì✱í❭✁➒➨✱✾✁✖Û ✙✝✠✞ ❢✱➫, ×✁➙ xk = xl − xm, ♣ ✒ xl ≥ 0, xm ≥ 0. ❹ ❍ xl × ✦✹ ❍ xm , ❜ × ✦ ✭ ❍ xm, ➭✱❅ xk × ✦ ❨✱ô, ❜ × ✦ ❨✁✞. ➴ 3. ➲ ✘✁⑦✱❧✱♠✱✐✱▼✱✚✱✛r❨✱❭✁➒➨: min z = x1 + 2x2; ì✱í    2x1 + 3x2 ≤ 6, x1 + x2 ≥ 4, x1 − x2 = 3, x1 ≥ 0. Ø ✾➺➸ ❹ ✖ Û x2 ❾✠➻✠➼, ➙ x2 = x3 − x4, ♣ ✒ x3 ≥ 0, x4 ≥ 0. ➽✠➾✠➇✠➫✠➭✠✖Û x5, ◗✁➯✁✖Û x6, Ú: max z 0 = −x1 − 2x3 + 2x4; ì✱í    2x1 + 3x3 − 3x4 + x5 = 6, x1 + x3 − x4 − x6 = 4, x1 − x3 + x4 = 3, xj ≥ 0, j = 1, 3, 4, 5, 6. ❧✱♠✱✐✱▼✱✚✱✛✱➧✱➨✱✃✁➀❻ ✥✱✗✱✘✱➟✱➠✱✙✁➚✱Þ: ➪✱●✇✈✭✙✱♠; ➶✁➹➦ ♠; ➘× ❣✱♠; ➴✱Ù ❀☞♠. ➭ ➯ ●➬➷➴✉ ❺ ♦ â☞❝☞❞☞✚☞✛☞✙☞â☞❝✠➄✠✻✠➮✃➱✠❐, ❀☞❝✠➄✠✻☞✾ ❩ ❭✠✱❤☞✙✠❒✠❮☞❿ ✾☞✦☞✧☞✙☞❈☞❉☞◆✠➄✠✻☞✙✠❰✠Ï☞●ô ✈Ð✙. ●✓✈Ð✙☞♠✠➚☞Þ➲✠Ñ✠Ò ❩ ❭✠✱❤☞❿☎✠✆é☞ê❨❧☞♠ ✙. ✌✱✏✱➞✱✍➄ ✒ , Ó ô ✙✱❧✱♠♦❇ ✥✱✙, ✾ ë✁Ô✚✱✛✱✥✮✱×✣✱❧✱♠✱✐✱▼✱➧✱➨✁Õ✠Ö✁✩✱➸☞➺. ➭ ➯Ø×✁Ù✉ØÚ❁✱❝✁✖Û xj ✙✁Û✱❤ cj ❿ aij ✾ ♣ ✢✁✖Û Ü ✎✱✍✁Ü✁Ý. ✙✱✗, ✙ 1 ✒r✍✱✎✱✎ ➱ ➷rÚ✱✖✱✙✻✱✼Ü✁Þ✎✱➱✇➬✙✱❤Û ✙Ü✁Ý, ✗✁❣➞ ✥✱■✱❞✁➚✱❀, ✚ ✛✱❺✁ß✁àr ❛. ➭ ➯âá✁ã✉ ❺ ♦✁ä✁å✖ Û ❞✷ ➐ ✭❤. ➭ ➯âæ✁ç✉ ❺ ♦ ➚✱Þ✱➭✱✥✁Û ❤ cj ✩ aij ❿ bi ✃♦ Ùä❀ä✙. ✕ä✖äÜäÙä❀ä✙è➨è➩, ×ä✻✣èéèêè♣ä❣èë✩ Ûä❤ä✐✱▼✺✁ì✱✪❧✱♠ ✐✱▼➻➜✱➝. §1.3 ➎➐➏➐➑➐➒➐➓➐➔➐→④í④î④ï ð✥✱➽✱❞✺✁ñ❞✁✖Û ✙✱❧☞♠☞✐✱▼☞✚✱✛, × ❅✱✣✁ò✱➜✱➃➻ ➫✱➜. ò✱➜✱➃✱➾✱➀✣✁ó, ❆✱❍ ✉➜✱❧✱♠✱✐✱▼✱✚✱✛✱✙✱➟✱➠✁ô✁õ✱❿✱➫✱➜✱✙✱➟✱➠✯✉ , ö ✏ ✣✁÷✷ Ü✹ . ✘✱➼✱✣✁✙ 1 ➻✱➚✇➪❧ ♠✱✐✱▼✱✚✱✛✱✙✁ò✱➜✱➃. ➴ 4. ✣✁ò✱➜✱➃✱➜✁✙ 1 ✒✙✱❧✱♠✱✐✱▼✱✚✱✛. ✙ 1 ✙✱❤✱❜✱➧✱➨❨ : max z = 6x1 + 4x2; ì✱í    2x1 + x2 ≤ 10, x1 + x2 ≤ 8, x2 ≤ 7, xj ≥ 0, ✾✱❝✱öj