第一章线性规划基础 其中 C=(1,c2,,m)} A=aijmxn,i=1,2,,m;j=1,2,, X=（x1,2,.,xn) b=(61.b2.....om)T 称A为约束条件方程的系数矩阵，一般有0<m<n. 由上可见，线性规划模型的目标函数，可以是求最大值（例如追求利润最大，也可以 是求最小值（例如追求成本最小：约束条件方程可以为“≤”(，也可以为“≥”或“-”，在实 际向题中表示资源约束和对某一种成分的最低含量等.对一般的线性规划模型，可以从经 济上作如下解释 这个模型系统包括分享有限资源：（位=1,2，：m)的若干项活动j(G=1,2,,n归 第j个活动每单位需要的第i种资源的量为；作为对这些投入的回报，第j个活动每 个单位的产出（成本、效益等为：“≤”形式的约束条件意味着各项活动消耗的某种资 源的数量。不应超过资源的可用量“≥”形式的约束条件意味着某项活动中对某种资源消 耗的最低要求。 线性规划目标函数和约束条件方程的多样性给我们讨论带来不便，为了便于以后的 讨论，本书规定线性规划的标准型为： 满足 ∑a两=，i=1,2m 马20，j=1,2,,n 我们还规定上式中的：≥0.若问题中有：<0，可对等式两端同时乘以一1.实际问题的 线性规划模型必须转化为标准型，然后求解 如果根据实际问题建立起来的线性规划模型不是标准型的，可用下述方法将它化成 标准型： 1.若目标是 可令=-，将目标函数转化为 m=- 2.若约束方程是“≤”形式，可在方程左端加上非负变量，将方程转化为等式方程。如 (2.1)可转化为 2x1+x2+x3=10,x3≥0. 这里3的经济意义是A车间没有用完的工时，我们称3为松弛变量： 3.若约束方程是“≥”形式，可在方程左端减去非负变量，将方程转化为等式方程我 们称这个非负变量为多余变量4 ÷✇ørùûú✱ü✱ý✱þ✱ÿ✁￾ ♣ ✒ : C = (c1, c2, . . . , cn); A = [aij ]m×n,i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; X = (x1, x2, . . . , xn) T ; b = (b1, b2, . . . , bm) T . ✄ A ❨✁☎✁✆é✱ê➈✁❷✱✙✁❸✱❤✁⑨✁⑩✱õ✫❝✁✌✱✥ 0 < m < n. ❹ ❪×☞æ, ❧☞♠☞✐☞▼☞➧☞➨☞✙ ❩ ❭✠✱❤, × ❅ ♦ ➫ ✸☞✹☞✷ (✙☞✗✠✟☞➫✻☞✼☞✸☞✹), ❜ × ❅ ♦ ➫ ✸✱✭✱✷ (✙✱✗✁✟✱➫✱●✱➠✸✱✭); ☎✁✆é✱ê➈✁❷× ❅ ❨ “≤”(, ❜ × ❅ ❨ “≥” ✺ “=”, ✌✱✏ ➞ ✚✱✛ ✒Ð✁☞✱✦✱✧☎✁✆❿✱✾✁❀✱❝✱❏✱●✱❣✱✙✸✁❺✁❻✱Û✳ . ✾✱❝✁✌✱✙✱❧✱♠✱✐✱▼✱➧✱➨, × ❅✱❑✁❼ ❽ ❪✁❾✱✗✱✘✱➜✁❿: ■✱❞✱➧✱➨✁❸✱❃✁➀✁➁✱❣✁➂✱✥Õ ✦✱✧ bi (i = 1, 2, . . . , m) ✙✁☛✁✸✁➃✁➄✁✻ j (j = 1, 2, . . . , n); ➅ j ❞✁➄✁✻✰ ➀✱Ñå ❢✱✙➅ i ❏✱✦✱✧✱✙Û❨ aij ; ❾ ❨✾✱■✱❻✁➆✁➇✱✙❲➈✭➉, ➅ j ❞✁➄✁✻✰ ❞✱➀✱Ñ✱✙✎✱❙ (●✱➠✩➋➊✱❱✳ ) ❨ cj ; “≤” ➂î ✙☎✁✆é✱ê✁➌✁➍✁➎P✁➃✁➄✠✻✱❈☞❉✱✙✠❀✱❏☞✦ ✧✱✙✱❤Û , Ü③✱à✱á✦✱✧✱✙× ✣Û ; “≥” ➂î ✙☎✁✆é✱ê✁➌✁➍✁➎❀✁➃✁➄✁✻ ✒✾✁❀✱❏✱✦✱✧✱❈ ❉✱✙✸✁❺❢✱➫. ❧☞♠☞✐☞▼ ❩ ❭✠✱❤☞❿☎✠✆é☞ê➈✠❷☞✙✠◗✠➏☞♠☞✿✂☛⑧☞❥✠➐➻ Ü☞❆, ❨ ❛☞❆☞❍☞❅☞➅☞✙ ⑧✱❥, ➠✁➑✱✐✱❀✱❧✱♠✱✐✱▼✱✙❭✁➒➨ ❨ : max z = Xn j=1 cjxj ; ì✱í Xn j=1 aijxj = bi ,i = 1, 2, . . . , m, xj ≥ 0, j = 1, 2, . . . , n ✂☛✱ñ✐✱❀✁❪î ✒✙ bi ≥ 0. ☛✱✚✱✛ ✒✥ bi < 0, × ✾ ✳✱î➽✁➓✱â✮✁➔❅ −1. ✏✱➞✚✱✛✱✙ ❧✱♠✱✐✱▼✱➧✱➨ò✱ó✁→r❨✱❭✁➒➨✱õ✫➩✱➅✱➫✱➜. ✗✠❣✠➣✠↔✏☞➞✚☞✛➥☞➦✠↕➻ ✙☞❧☞♠☞✐☞▼☞➧☞➨☞Ü♦❭✠➒➨☞✙, × ✣☞✘☞➺☞➈☞➃➲ ✢r ● ❭✁➒➨: 1. ☛ ❩❪❭♦ min z = Xn j=1 cjxj ×✁➙ z = −z 0 , ➲ ❩❪❭✁✱❤ →r❨ : max z 0 = − Xn j=1 cjxj . 2. ☛ ☎✁✆➈✁❷♦ “≤” ➂î , ×✱✌➈✁❷✁➛✁➓✱❮✁❪✝✁✞✖ Û , ➲➈✁❷→r❨✳✱î➈✁❷. ✗ (2.1) ×✁→r❨ : 2x1 + x2 + x3 = 10, x3 ≥ 0. ■✁➜ x3 ✙✁❼❽➌✁➝♦ A ❐✱❒✁➞✥✱✣✱❋✱✙✱❰✮ , ✂☛✁✄ x3 ❨✑➟✁➠✓✁✔; 3. ☛ ☎✁✆➈✁❷♦ “≥” ➂î , ×✱✌➈✁❷✁➛✁➓✁➡✱❊✝✁✞✖ Û , ➲➈✁❷→r❨✳✱î➈✁❷. ✂ ☛✁✄■✱❞✝✁✞✖ Û❨t➢✁➤✓✁✔;