ABear b2+…+:|b,(i=1,2,…), 于是AB每一个列向量都可以写成A的列向量组的线性组合,故r(AB)≤r(A);同理可证 r(AB)≤r(B),于是r(AB)≤min(r(A),r(B)。 命题r(AB)≥r(4)+r(B)-n 证明记C=AB,设B的列向量为B3B2…B,则C的列向量可以表示为 C:=AB 设C的列向量的一个极大线性无关部分组为C,C,…,C,, C=AB 任取C的一个列向量C,存在kn,k2,…kn,使得C=knC4+k2C2+…+knC,将 (1)式代入,得到 A(k,B.+k,B.+…+kB)=C, 于是knB4+k2B2+…+kB1是方程组AX=C的一个特解。 设齐次线性方程组AX=0的基础解系为y1,2…,yn(4,由线性方程组理论知,方程 AX=C,的解可以表示为 7=knB1+k2B2+…+k,B.+mn1+m2y2+…+mn(ayn= 其中m∈K,由C=AB1,B是方程AX=C的解,于是B的列向量可以被向量组 B、,B2∴…,B1,,12…,yn(4线性表示,于是r(B)≤r+s=r(AB)+(n-r(A),即 r(AB)≥r(A)+r(B)-n 证毕 定义n阶方阵A自左上角到右下角这一条对角线称为A的主对角线。主对角线上的 个元素的连加称为A的迹。11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 n n i i i ni m m mn a a a a a a A B b b b a a a                   • = + + +                     ，（ i l =1,2, , ）， 于是 AB 每一个列向量都可以写成 A 的列向量组的线性组合，故 r (AB)  r (A) ；同理可证， r (AB)  r (B) ，于是 r (AB)  min ( r (A), r (B)) 。 命题 r (AB)  r (A) + r (B) − n . 证明 记 C AB = ，设 B 的列向量为 1 2 , , , B B Bl ，则 C 的列向量可以表示为 C AB i i = . （1） 设 C 的列向量的一个极大线性无关部分组为 1 2 , , , r C C C i i i ， j j C AB i i = ， j r =1,2, , ， 任取 C 的一个列向量 Cj ，存在 1 2 , , , j j jl k k k ，使得 1 2 1 2 r C k C k C k C j j i j i jr i = + + + ， 将 （1）式代入，得到 1 2 1 2 ( ) r A k B k B k B C j i j i jr i j + + + = ， 于是 1 2 1 2 r j i j i jl l k B k B k B + + + 是方程组 AX C= j 的一个特解。 设齐次线性方程组 AX = 0 的基础解系为 1 2 ( ) , , , n r A    − ，由线性方程组理论知，方程 AX C= j 的解可以表示为 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) r j j i j i jr i n r A n r A     = + + + + + + + k B k B k B m m m − − ， 其中 m K i  ，由 j j C AB i i = ， Bi 是方程 AX C= i 的解，于是 B 的列向量可以被向量组 1 2 1 2 ( ) , , , , , , , r B B B i i i n r A    − 线性表示，于是 r (B)  r + s = r (AB) + (n − r (A)) ，即 r (AB)  r (A) + r (B) − n . 证毕。 定义 n 阶方阵 A 自左上角到右下角这一条对角线称为 A 的主对角线。主对角线上的 n 个元素的连加称为 A 的迹