命题矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中A,B,C均为K上的矩阵, k,l为数域K中的元素) (1)加法结合律(A+B)+C=A+(B+C) (2)加法交换律A+B=B+A (3)数乘结合律k(lA)=(kD)A (4)数乘分配律k(A+B)=kA+kB; (k+DA=kA+lA (5)乘法结合律(AB)C=A(BC) k(AB)=(ka)B=A(kB) (6)乘法分配律A(B+C)=AB+BC (B+C)A= BA+CA (7) (A+B)=A'+B' (8)(4By=BAf。 243矩阵的和与积的秩 命题矩阵的运算与秩的关系满足如下性质(其中A,B均为数域K上的m×n矩阵, 为K中的元素) (1)若k≠0,则r(k4=r(A (2)r()=r(A); (3)r(A+B)≤r(A)+r(B) 证明(1)和(2)显然成立。关于(3),由矩阵的秩的定义,只需要证明A+B的列 向量组的秩小于等于A的列向量组的秩加上B的列向量组的秩即可。A+B的列项量可以 被A和B的所有列向量线性表出,于是A+B的秩小于等于A,B所有列向量的所组成的向 量组的秩,小于等于A,B秩的和。于是命题成立。 命题设A,B分别为mXn矩阵和一个n×1矩阵,则r(AB)≤min(r(A),r(B) 证明由矩阵乘法的定义,有 a1bn∑anb2…∑a1b a2 b AB的列向量(记为A·B,(=1,2,…,1))可表示为命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中 A, B,C 均为 K 上的矩阵， k,l 为数域 K 中的元素） （1） 加法结合律 (A+ B) +C = A+ (B +C) ； （2） 加法交换律 A+ B = B + A ； （3） 数乘结合律 k(lA) = (kl)A ； （4） 数乘分配律 k(A+ B) = kA+ kB ； (k + l)A = kA+ lA ； （5） 乘法结合律 (AB)C = A(BC) ； k(AB) = (kA)B = A(kB) ； （6） 乘法分配律 A(B +C) = AB + BC ； (B +C)A = BA +CA ； （7） (A+ B)'= A'+B' ; （8） (AB)' = B'A'。 2.4.3 矩阵的和与积的秩 命题 矩阵的运算与秩的关系满足如下性质（其中 A B, 均为数域 K 上的 mn 矩阵， k 为 K 中的元素）： （1） 若 k  0 ，则 r (kA) = r (A) ； （2） r (A') = r (A) ； （3） r (A + B)  r (A) + r (B) 证明 （1）和（2）显然成立。关于（3），由矩阵的秩的定义，只需要证明 A + B 的列 向量组的秩小于等于 A 的列向量组的秩加上 B 的列向量组的秩即可。 A + B 的列项量可以 被 A 和 B 的所有列向量线性表出，于是 A + B 的秩小于等于 A B, 所有列向量的所组成的向 量组的秩，小于等于 A B, 秩的和。于是命题成立。 命题 设 A, B 分别为 m n 矩阵和一个 n l  矩阵，则 r (AB)  min ( r (A), r (B)). 证明 由矩阵乘法的定义，有                     =          = = = = = = = = = n i mi il n i mi i n i mi i n i i il n i i i n i i i n i i il n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1       . AB 的列向量（记为 A B (i 1,2, ,l) • i =  ）可表示为