大数法则反映了大量随机数之和的性质。 如果函数h在[区间,以均訇的概率分布密度隨机地取n 个数l,对每个u计算出函数值H(u)。大教法则告诉我们这些 函数值之和除以n所得的值将收敛于函数h的期望值,即 lim -h(u)=lim I h(udu= I 大教法则佩证了在抽取足够多的随机样本后,计算得到的积 分的兮卡涪佔计值将收筮于该积分的正确绪果。考要对收敛 的程度选行研兇。并做出各种误差佑讣,则要用到中心极限定 中心极限定理告诉我们:在冇足够大,但又有限的抽样教n 的情沉下,蒙兮卡洛佔计是如何分布的。 该定理指出:无论随机变量的分布如何,它的若干个独立随 机变量抽榉值之和总是满足正则分布(即高斯分布)。例如我们 有一个随机变量,它演足分布密度函数f(x)。如果我们将n个 满足分布鲁度函数f(x)的独立随机数相加:R=7+n2+…+mn, 则R灡足高斯分布。高斯分布可以由给定的期望值μ和方a2完 全确定下来,邋常用N(x,a2)来襄示 N(,a2)= ex /2σ 中心极限定理可以给出蒙特卡洛佔计值的傭。如上面公弌 右边积分的期望值为Ⅰ。公弌左边用n次抽样的象卡洛佑计 为ln,标准误鑾为σ,则当n充分大时,对任意的λ(λ>0),有 O lim Pr ob-2 ≤ln-1<A e-7/2dt=1-a 这说明:该积分的期望值与求钞卡洛佔计值之塾在范国 <1 内的概率为1-a,a称为显着水平,1-a称为量信水平。σ为 蒙特卡洛估计值的标准误差,σ2=V{}/n。a与λ的关系可以有 上面积分公式泶得。也有专冂的教学用衰可査。例如取量信水 平1-a=9,可以查2=3。这可以解释为:不式-小<3大数法则反映了大量随机数之和的性质。 如果函数 在[ 区间，以均匀的概率分布密度随机地取 n 个数 ，对每个 计算出函数值 h a,b] ui ui ( ) h ui 。大数法则告诉我们这些 函数值之和除以 n 所得的值将收敛于函数h的期望值，即 ( ) ( ) 1 1 1 lim lim n b i n n n a i h u I h u du I →∞ n b = →∞ a ≡ = − ∑ ∫ ≡ . 大数法则保证了在抽取足够多的随机样本后，计算得到的积 分的蒙特卡洛估计值将收敛于该积分的正确结果。若要对收敛 的程度进行研究，并做出各种误差估计，则要用到中心极限定 理。 中心极限定理告诉我们：在有足够大，但又有限的抽样数 n 的情况下，蒙特卡洛估计值是如何分布的。 该定理指出：无论随机变量的分布如何，它的若干个独立随 机变量抽样值之和总是满足正则分布(即高斯分布)。例如我们 有一个随机变量η ，它满足分布密度函数 f (x)。如果我们将 个 满足分布密度函数 n f (x) 的独立随机数相加： 1 2 ... Rn n =η + + η η+ ， 则Rn满足高斯分布。高斯分布可以由给定的期望值µ和方差 完 全确定下来，通常用 2 σ ( ) 2 N µ,σ 来表示 ( ) ( )2 2 2 1 , exp 2 N x µ σ µ / 2 σ π = − − σ    . 中心极限定理可以给出蒙特卡洛估计值的偏差。如果上面公式 右边积分的期望值为 ，公式左边用 n 次抽样的蒙特卡洛估计 值为 ，标准误差为 I n I σ ，则当 n 充分大时，对任意的λ(λ > 0)，有 ( ) ( ) 2 1 / 2 limPr 1 2 t n n f f ob I I e dt n n λ λ σ σ λ λ α π − →∞ −   − ≤ − <  = = −   ∫ . 这说明：该积分的期望值与蒙特卡洛估计值之差在范围 ( ) n f I I n σ − < λ 内的概率为1−α ，α 称为显著水平，1−α 称为置信水平。σ 为 蒙特卡洛估计值的标准误差， V{f }/ n 2 σ = 。α 与λ 的关系可以有 上面积分公式求得。也有专门的数学用表可查。例如取置信水 平1−α = 99%，可以查得λ = 3。这可以解释为：不等式 − < 3 n I I n σ