大T东中格装久音把是号 】细分格式C连续充要条件 11单变量细分格式 这里，P是以控制顺点P刊，1cZ为分量的列向量，线性变换师库M称为闻分矩阵 如果每一细分的细分好阵相同，甲4工，释条式是静方的(s0nk杏，称为非静态的 7o说8 列移的整位置登心小落为润分格式的原 宽失上等机同作送季将潮学这好教安 如我幻把掩第】个非零系数的下标取为《有-O,01.今心是最小的校数.使得 -1这样无穷旋模可以筒化成由W个系数构的有限集{网…-小 定义5标志 是指拉制多边形在细分过程中扑不变的顶点 一分轻州新分为个树转新时一 爱治线有车定汉分式生一 当：是数时R给出了下面的结论m560 Journal of Software 软件学报 Vol.17, No.3, March 2006 在单变量细分格式的收敛性和连续性分析的理论上,Dyn 等人[3,8−10] 给出了关于二重格式的充分条件和必 要条件,Hassan 等人[6,7]给出了关于三重格式的充分条件.Romani [11] 根据细分格式掩模的重数和宽度对单变量 均匀格式进行了统一的分类,并给出了一般的 a 重格式 Ck 连续的充要条件.本文利用该条件分析了一些已知格 式的连续性,指出 Weissman 的六点二重插值格式[3] 可以达到 C3 连续,并构造了一种新的 C3 连续的六点三重插 值细分格式. 本文第 1 节介绍单变量细分的概念,并修正了 Romani[11] 的充要条件.第 2 节利用该充要条件分析了已有的 单变量插值细分格式(如四点二重插值格式[3] 、六点二重插值格式[3] 、三点三重插值格式[6] 、四点三重插值格 式[7] 等),给出各阶连续时参数的取值范围.第 3 节构造了一种新的六点三重插值细分格式,并证明该格式是 C3 连续且有 4 阶精度.最后,给出本文的结论和将来的工作. 1 细分格式 C k 连续充要条件 1.1 单变量细分格式 单变量细分格式通过对初始控制多边形 P0 ={ :i∈Z}不断加细,得到一条光滑的极限曲线.细分过程用公 式可表示为 0 Pi P j =M jP j−1 . 这里,P j 是以控制顶点 ,i∈Z 为分量的列向量,线性变换矩阵 M j Pi j 称为细分矩阵. 如果每一细分步的细分矩阵相同,即 M j ≡M,j∈Z+,则称格式是静态的(stationary);否则,称为非静态的 (non-stationary). 定义 1. 细分矩阵{M j}j≥1 的列(表示一个老控制顶点在第 j 层对新控制顶点的影响系数)称为掩模(masks). 如果每一细分步仅由一个掩模 mj ={ :i∈Z}确定,格式称为均匀的(uniform)(既然在曲线的所有位置用同 样的掩模).这时,双无穷细分矩阵 M j mi j 的所有列是相同的,只是相互偏移了 a 行,即 Mak k +1,k = mi j ,∀k,i∈Z.这样细分 后的点列 Pj 对应于每个老控制顶点有 a 个新点. 定义 2. 均匀细分矩阵的每一列相对于相邻列偏移的整数位置数 a(>1)称为细分格式的重数(arity). 由于均匀细分由一个掩模确定,且相邻列仅偏移 a 个位置,所以细分矩阵 M j 有 a 个不同的行. 定义 3. 均匀细分矩阵不同的 a 行(表示一个新点被老控制顶点影响的系数的集合)称为模板(stencils). 这样,模板是由掩模 mj 的子序列隐式定义的.对一个合理的细分格式,要求模板的系数和为 1 :∀j∈Z+, 1 Z ∑ 1 = ∈ + i j mai ,l=0,…,a−1.事实上,Dyn 等人[8] 指出上述条件是均匀细分格式收敛(C0 )的一个必要条件. 如果我们把掩模第 1 个非零系数的下标取为 0(即有 =0,∀i<0),令 w(>1)是最小的整数,使得 =0,∀i> j mi j mi w−1.这样,无穷掩模 mj 可以简化成由 w 个系数构成的有限集{ :i=0,…,w−1}. j mi 定义 4. 正整数 w(>1)称为细分格式或掩模的宽度(width). 1.2 C k连续充要条件 定义 5. 标志点(mark points)是指控制多边形在细分过程中拓扑不变的顶点. 我们在进行格式分析时,只需分析标志点的不变邻域(invariant neighborhood)所对应的双无穷细分矩阵 M 的有限阶的子方阵(局部细分矩阵).当细分重数为偶数时,只需分析一个局部细分矩阵;而当重数为奇数时,需要 分析两个不同的局部细分矩阵. 记 m 为宽度为 w(>1)、重数为 a(>1)的掩模,M 为对应的细分矩阵.定义细分格式的生成函数(generating funtion)为 Laurent 多项式 ∑∈ = Z ( ) i i i m z m z . 当重数 a 是偶数时,Romani 给出了下面的结论[11] :