第三章导数与微分 y=f()可微→4(l)=f(b)△a+o(△) 可以用另外一种方式表示:O(△)=o(1)△n,该式当△=0时也正确 4(u)=f(u)△a+o(1)△a 4(u)f()△n,o(1)△(a0) △x 4x5(a)4 o(1) X 当Ax→0 d(u0) (二)微分形式不变性(复合函数的微分公式) 设有可微函数y=f()和u=g(x),则复合函数y=f(g(x)亦可微,且其微分是 dJf(u)=f()·dh 证明:d()=f(u(x)△x =f'(un)(x)x=f(un)·d l(x)=x,才有d=△,因此对自变量x,我们将微分写 dJf(x)=f(x)·△x=f(x)dx 当u(x)≠x,有dh≠Δ,因此对中间变量u=u(x),我们不能将微分写成 df(u(x)=f(u)△a,但有:df(u)=f'()dh 也就说说,不管u是自变量还是中间变量(函数),微分形式都是 df(u)=f(u) du 称之为微分形式不变性。 (三)复合函数微分法举例 例1:设y=co(5x2+2x+3),求y(x) 解: +2x+3 y=f(u)=cosu dy dy du d x du dx =(-sna)(10x+2) (10x+2)sn(5x2+2x+3) 例2:设y=(x )2,求y(x) dy 3(x-1 x+1)(x+1 (x+1)2 第三章导数与微分第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 y = f (u) 可微  ( ) ( ) ( ) f u0 = f  u0 u + o u 可以用另外一种方式表示: o(u) = o(1)u , 该式当 u = 0 时也正确 f (u0 ) = f (u0 )u + o(1)u . x u o x u f u x f u x o u x f u u x f u   +   =       +    =   ( ) (1) ( ) ( ) (1) ( ) 0 0 0 0 当 x →0, ( ) 0 ( ) 0 0 =  + d x du f u d x df u . (二) 微分形式不变性(复合函数的微分公式) 设有可微函数 y = f (u) 和 u = g(x) , 则复合函数 y = f (g(x)) 亦可微, 且其微分是 df (u) = f (u) du 证明： df u f u x x ( ) = x ( ( )) = = f (u)u (x)x = f (u) du 当 u(x) = x , 才有 du = u , 因此对自变量 x , 我们将微分写成： df (x) = f (x)x = f (x) dx 当 u(x)  x , 有 du  u , 因 此 对 中 间 变 量 u = u(x) , 我 们 不 能 将 微 分 写 成 ： df (u(x)) = f (u)u , 但有： df (u) = f (u) du . 也就说说，不管 u 是自变量还是中间变量(函数)，微分形式都是: df (u) = f (u) du . 称之为微分形式不变性。 (三) 复合函数微分法举例 例 1: 设 y = cos(5x +2x + 3) 2 ,求 y (x). 解: 令 u = g(x) = 5x +2x + 3 2 , y = f (u) = cosu. = = (−sin u)(10x + 2) dx du du dy dx dy = (10 2)sin( 5 2 3) 2 x + x + x + 例 2: 设 2 3 ) 1 1 ( + − = x x y , 求 y (x). 解: . ( 1) 3( 1) 1 1 1 1 2 3 2 5 2 1 ' 2 1 + −  =      + −       + − = x x x x x x dx dy x