《数学分析》下册 第二十一章二重积分] 海南大学数学系 §5三重积分 教学目的掌握三重积分的定义和性质 教学内容三重积分的定义和性质：三重积分的积分换元法：柱面坐标变换：球 面坐标变换 基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分， 及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法. 教学建议 (①)要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函 数必可积.由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙 述与比较. (2)对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题 教学程序 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取 极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果.一类大量的“非均匀”问题 都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义. 定义1设f化，y)是定义在三维空间可 求体积的有界闭区域”上的函数，J是一 个确定的数，若对任给的正数6，总存在 某个正数δ，使对于'的任何分割T,当 它的细度门<⊙时，属于T的所有积分和 都有 f(Em.6 )Aa,-J<E 则称f,少在P上可积，数J称为函数心，y在"上的三重积分，记作 J.顶xht 其中，y,称为三重积分的被积函数，x,八，：称为积分变量，称为'积分区域。 1 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 1 §5 三重积分 教学目的 掌握三重积分的定义和性质． 教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球 面坐标变换． 基本要求：掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分， 及用柱面坐标变换和球面坐标变换计算三重积分的方法． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函 数必可积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙 述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题． 教学程序 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取 极限”的步骤，利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题 都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义 1 设 f (x, y,z) 是定义在三维空间可 求体积的有界闭区域 V 上的函数， J 是一 个确定的数，若对任给的正数  ，总存在 某个正数  ，使对于 V 的任何分割 T ，当 它的细度 T   时，属于 T 的所有积分和 都有      −   = f J N i i i i i 1 ( , , ) , 则称 f (x, y,z) 在 V 上可积，数 J 称为函数 f (x, y,z) 在 V 上的三重积分，记作 J = ( )  V f x, y,z dvdydz ， 其中 f (x, y,z) 称为三重积分的被积函数， x, y,z 称为积分变量，称为 V 积分区域．