《数学分析》下册 第二十一章二重积分 海南大学数学系 可积函数类 (1)有界闭区域'上的连续函数必可积. (ⅱ)有界闭区域V上的有界函数f,y)的间断点集中在有限多个零体积 的曲面上，则)必在V上可积 二、化三重积分为累次积分 定理2115若函数f在，y在长方体V=a,小xk,d小x,f小上的三重积分 存在，且对任何x∈a,),二重积分 .厂rt 存在，其中D=[6,d小xe,f八，则积分 js∬f,y=o 也存在，且 ∬f心v.-xdord=Jdx∬f,o 证明用平行于坐标轴的平面网T作分割，它把'分成有限个小长方体 a-x]小小k4] 设M,m分别f化，以)为在"上的上、下确界.对于1，x上任一点5，在 D=bey,k]上有 m4y,△s∬/5，y,d ≤MAy,AE 现按下标j,k相加，则有 代tn形t形. 三A2A.L (2) 上述不等式两边是分割T的上和与下和.由于八，在P上可积，当门→0 2《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 海南大学数学系 2 可积函数类 （ⅰ）有界闭区域 V 上的连续函数必可积. （ⅱ）有界闭区域 V 上的有界函数 f (x, y,z) 的间断点集中在有限多个零体积 的曲面上，则 f (x, y,z) 必在 V 上可积. 二、化三重积分为累次积分 定理 21.15 若函数 f (x, y,z) 在长方体 V = a,bc,de, f  上的三重积分 存在，且对任何 x  a,b ，二重积分 I(x)= f (x y z)dydz D  , , 存在，其中 D = c,de, f  ，则积分  b a dx ( )  D f x, y,z d 也存在，且 ( )  V f x, y,z dxdydz =  b a dx ( )  D f x, y,z d . (1) 证明 用平行于坐标轴的平面网 T 作分割，它把 V 分成有限个小长方体 ijk v =       i i j j k k x , x y , y z ,z −1  −1  −1 ， 设 M ijk , mijk 分别 f (x, y,z) 为在 ijk v 上的上、下确界．对于   i i x , x −1 上任一点 i  ，在 D jk =     j j k k y , y z ,z −1  −1 上有 ( )     Djk mijk y j zk f  i , y,z dydz  ijk j k M y z ， 现按下标 j, k 相加，则有  ( )  j k D i jk f y z dydz ,  , , = ( )  D f  i , y,z dydz = ( )i I  ， 及      ( )  i i i i j k ijk j k m y I  x , ,    i j k ijk j k M y z , , ， (2) 上述不等式两边是分割 T 的上和与下和．由于 f (x, y,z) 在 V 上可积，当 T → 0