§2向量的线性关系 概念 为了进一步研究线性方程组的有解性和工程技术实际问题以及理论的需要,我们在本节 研究向量的概念及其线性关系。 在向量代数一章里,我们已经知道,空间向量(向径)OM={x,y,z}(其中M( y,z)与有序三数组一一对应。将此推广到一般n元有序数组得到n维向量的概念。 定义1n个数a1,a2…an组成的有序数组a=(a1,a2…,an)称为n维向量, a1(=1,2,…,m)称为a的第i个分量(坐标) 注1.记号①手写:a,B,y分量用a,b。c…,{}→() ②印刷:黑体的a,B,y 维、二维、三维向量的几何意义分别是直线向量,平面向量和空间向量。四 维及其以上的向量已无几何意义。 3.线性方程a1x1+a2x2+…+anxn=b(a1,a2,…,an,b) 4.行向量,列向量。 运算 设a=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn) 1.相等:a=B分→a1=b(i=12,…,n 零向量:分量都是0,记作(或0),即O=(0,0,…0) 3.负向量:向量(-a1-a2…-an)称为a=(a1,a2…,an)的负向量,记为-a。 4.和与差向量(加与减): 向量(1+b,a2+b2…an+b)称为向量a与B的租,记作a+B 向量(-b1a2-b2…,an-bn)称为向量a与B的差,记作a-B 即a±B={a1±b,a2土b2…,an±bn) 5.数乘向量:ka=(ka,ka2,…,kan)。 向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算。线性运算满足的运算律与三维向量 相同§2 向量的线性关系 一． 概念 为了进一步研究线性方程组的有解性和工程技术实际问题以及理论的需要，我们在本节 研究向量的概念及其线性关系。 在向量代数一章里，我们已经知道，空间向量（向径） OM ={x，y，z}（其中 M（x， y，z））与有序三数组一一对应。将此推广到一般 n 元有序数组得到 n 维向量的概念。 定义 1 n 个数 a a an , , , 1 2  组成的有序数组 ( , , , )  = a1 a2  an 称为 n 维向量， a (i 1,2, ,n) i =  称为  的第 i 个分量（坐标）。 注1. 记号 ①手写： , , 分量用 a ,b, c ,……， → ( )。 ②印刷：黑体的 , , 。 2. 一维、二维、三维向量的几何意义分别是直线向量，平面向量和空间向量。四 维及其以上的向量已无几何意义。 3. 线性方程 ( , , , , ) a1 x1 + a2 x2 ++ an xn = b  a1 a2  an b 4. 行向量，列向量。 二． 运算 设 ( , , , )  = a1 a2  an ， ( , , , )  = b1 b2  bn 1. 相等： a b (i 1,2,. ,n)  =   i = i =  2. 零向量： 分量都是 0，记作  （或 0），即  = (0,0,  ,0) 3. 负向量： 向量 ( , , , ) − a1 −a2  −an 称为  = ( , , , ) a1 a2  an 的负向量，记为− 。 4. 和与差向量（加与减）： 向量 ( ) a +b a + b an + bn , , , 1 1 2 2  称为向量  与  的和，记作  +  。 向量 ( ) a −b a − b an − bn , , , 1 1 2 2  称为向量  与  的差，记作  −  。 即    ( ) = a b a  b an  bn , , , 1 1 2 2  。 5．数乘向量： k ( , , , ) 1 2 n = ka ka  ka 。 向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算。线性运算满足的运算律与三维向量 相同