2007年第4期 牡丹江师范学院学报（自然科学版） No.4,2007 (总第60期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 60 数学期望的应用 廖飞，李楠 (牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江157012) 摘要：数学期望是概率论的一个重要概念应用数学期望讨论某些实际问题，从而得到一些有意义的结论， 关键词：数学期望：随机变量：应用 [中图分类法]0142 [文献标识码]A [文章编号]1003,6180(2007)04,0063.02 在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的 至关重要的，在实际活动中，人们往往不自觉地利 利用数学期望来解决.数学期望是随机变量的数字特 用它.以下通过具体的事例来说明数学期望在实 征之一，它代表了随机变量总体取值的平均水平. 际问题中的应用 1数学期望的定义 2.1保险公司获利问题 例1一年中一个家庭万元被盗的概率是 1.1离散型随机变量的数学期望 0.001,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保 设离散型随机变量X的分布律为P(X= 险，参加者需缴保险费1000元，若在一年内，万 x)=p,(i=1,2,,若级数xp,绝对收敛， 元以上财产被盗，保险公司赔偿α元.为了最大限 度地给参保家庭以实惠，同时又保证保险公司有 则称∑x,p:的值为X的数学期望（或均值），记作 利润，试问保险赔偿金α如何确定，才能使保险公 E(X),即E(X)=∑xp 司获利？（不计其他费用） 解只需考察保险公司对任一参保家庭的获利 1.2连续型随机变量的数学期望 情况，设X表示保险公司对任一参保家庭的收益，则 X的取值为1000或1000-0，其概率分布为： 设X为连续型随机变量，其概率密度为 f(W,若。f(xWdx绝对收敛称。f(wdx 1000 1000-a 0.999 0.001 为X的数学期望（或均值），记作E(x),即 根据题意 E(X)=10000.999+(1000-a)0.001 1.3随机变量函数的数学期望 =1000-0.001a>0 设X是随机变量，Y=g(X)是X的连续实 解得a<10所以a<10时保险公司才能获利 函数，当X是离散型随机变量，其分布律为 2.2免费抽奖问题 P(X=x)=pmi=1,2,,当级数xp 例2袋中装有大小相同的球20个，10个 绝对收敛时，随机变量y=g(X)的数学期望为 10分，10个5分，从中摸出10个球，摸出的10个 球分数之和即为中奖分数，获奖如下： E(y=E(8W)=,8(xWp:.当X是连 一等奖100分，家电一件，价值2500元， 续型随机变量，概率密度是f(x),若积分 二等奖50分，家电一件，价值1000元， .。f(Wdx绝对收敛，随机变量y=g()的 三等奖95分，洗发精8瓶，价值176元， 四等奖55分，洗发精4瓶，价值88元， 数学期望为 五等奖60分，洗发精2瓶，价值44元， E(Y)=E(g(X)) g(x(dx 六等奖65分，牙膏一盒，价值8元， 七等奖70分，洗衣粉一袋，价值5元， 2 数学期望在实际问题中的应用 八等奖85分，香皂一块，价值3元， 九等奖90分，毛巾一条，价值2元， 数学期望无论从计划还是从决策观点看都是 十等奖75分与80分为优惠奖，仅收成本 收稿日期：2007-03-25 基金项目：黑龙江省教育厅科学技术研究项目(11511423) *数学系2002级学生 ·63· 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net收稿日期 :2007203225 基金项目 :黑龙江省教育厅科学技术研究项目(11511423) 3 数学系 2002 级学生 数学期望的应用 廖 飞 ,李 楠3 (牡丹江师范学院数学系 ,黑龙江 牡丹江 157012) 摘 要 :数学期望是概率论的一个重要概念 ,应用数学期望讨论某些实际问题 ,从而得到一些有意义的结论. 关键词 :数学期望 ;随机变量 ;应用 [中图分类法]O142 [文献标识码]A [文章编号]1003 - 6180 (2007) 04 - 0063 - 02 在实际生活中 ,有许多问题都可以直接或间接的 利用数学期望来解决.数学期望是随机变量的数字特 征之一 ,它代表了随机变量总体取值的平均水平. 1 数学期望的定义 1. 1 离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量 X 的分布律为 P ( X = xi) = pi ( i = 1 ,2 , …) ,若级数 ∑ ∞ i = 1 xi p i 绝对收敛 , 则称 ∑ ∞ i = 1 xi p i 的值为 X 的数学期望(或均值) ,记作 E( X) ,即 E( X) = ∑ ∞ i = 1 xi p i . 1. 2 连续型随机变量的数学期望 设 X 为连续型随机变量 , 其概率密度为 f ( x) ,若 + ∞ - ∞ x f ( x) d x 绝对收敛 ,称 + ∞ - ∞ xf ( x) dx 为 X 的数学期望(或均值) ,记作 E( X) ,即 E( X) = + ∞ - ∞ x f ( x) d x . 1. 3 随机变量函数的数学期望 设 X 是随机变量 , Y = g ( X) 是 X 的连续实 函数 ,当 X 是离散型随机变量 ,其分布律为 P( X = xi) = pi ( i = 1 ,2 , …) ,当级数 ∑ ∞ i = 1 xi p i 绝对收敛时 ,随机变量 Y = g ( X) 的数学期望为 E( Y) = E( g ( X) ) = ∑ ∞ i = 1 g ( xi) pi . 当 X 是连 续型 随 机 变 量 , 概 率 密 度 是 f ( x) , 若 积 分  + ∞ - ∞ x f ( x) d x 绝对收敛 ,随机变量 Y = g ( X) 的 数学期望为 E( Y) = E( g ( X) ) =  + ∞ - ∞ g ( x) f ( x) d x . 2 数学期望在实际问题中的应用 数学期望无论从计划还是从决策观点看都是 至关重要的 ,在实际活动中 ,人们往往不自觉地利 用它. 以下通过具体的事例来说明数学期望在实 际问题中的应用. 2. 1 保险公司获利问题 例 1 一年中一个家庭万元被盗的概率是 0. 001 ,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保 险 ,参加者需缴保险费 1 000 元 ,若在一年内 ,万 元以上财产被盗 ,保险公司赔偿 ɑ元. 为了最大限 度地给参保家庭以实惠 ,同时又保证保险公司有 利润 ,试问保险赔偿金 ɑ如何确定 ,才能使保险公 司获利 ? (不计其他费用) 解 只需考察保险公司对任一参保家庭的获利 情况 ,设 X 表示保险公司对任一参保家庭的收益 ,则 X 的取值为 1 000 或 1 000 - ɑ,其概率分布为: X 1 000 1 000 - ɑ P 0. 999 0. 001 根据题意 E( X) = 1 000 ×0. 999 + (1 000 - ɑ) ×0. 001 = 1 000 - 0. 001 ɑ> 0 解得 ɑ< 10 6 ,所以 ɑ< 10 6 时保险公司才能获利. 2. 2 免费抽奖问题 例 2 袋中装有大小相同的球 20 个 ,10 个 10 分 ,10 个 5 分 ,从中摸出 10 个球 ,摸出的 10 个 球分数之和即为中奖分数 ,获奖如下 : 一等奖 100 分 ,家电一件 ,价值 2500 元 , 二等奖 50 分 ,家电一件 ,价值 1000 元 , 三等奖 95 分 ,洗发精 8 瓶 ,价值 176 元 , 四等奖 55 分 ,洗发精 4 瓶 ,价值 88 元 , 五等奖 60 分 ,洗发精 2 瓶 ,价值 44 元 , 六等奖 65 分 ,牙膏一盒 ,价值 8 元 , 七等奖 70 分 ,洗衣粉一袋 ,价值 5 元 , 八等奖 85 分 ,香皂一块 ,价值 3 元 , 九等奖 90 分 ,毛巾一条 ,价值 2 元 , 十等奖 75 分与 80 分为优惠奖 ,仅收成本 · 36 · 2007 年第 4 期 牡丹江师范学院学报(自然科学版) No. 4 ,2007 (总第 60 期) Journal of Mudanjiang Normal University Total No 60