3.2集合间的关系 .45· (⑤)元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，可以用一种树形图来表示这 种隶属关系，该图分层构成，每个层上的结点都表示一个集合，它的儿子就是它的元素.集合 S={a,{1,2},p,{g}的树形图如图3.1所示. {1,2 图3.1元素和集合间隶属关系的树形图 3.2 集合间的关系 在3.1节中，给出了“集合”“元素”以及元素与集合间的“属于”关系3个概念的直观 描述，以说明它们各自的含义.下面利用这3个概念定义集合间的关系 定义3.1设A、B是任意两个集合，如果A中的每一个元素都是B中的元素，则称 A是B的子集合，简称子集.也称A被B包含，或B包含A.记作A二B或B2A.符号 化表示为 A≤B台x(x∈A→x∈B) 如果A不被B包含，则记作A生B.符号化表示为 A4B÷3x(x∈AAx年B) 例如，A={a,b},B={a,b,c以，C={b,c,d,则有A二B,但A车C. 注意符号∈和二的区别，∈表示元素与集合间的“属于”关系，二表示集合间的“包含” 关系. 定义3.2设A,B是两个集合，如果ACB且BCA,则称A与B相等，记作A=B. 符号化表示为 A=B÷ACB且BCA 如果A与B不相等，则记作A≠B. 该定义给出了一个重要原则：要证明两个集合相等，唯一的方法就是证明每一个集合中 的任一元素均是另一个集合的元素. 定义3.3设A、B是两个集合，如果A是B的子集，而B中至少有一个元素不属于 A,则称A为B的真子集，记作ACB.符号化表示为 ACB台Hx(x∈A→x∈B)A3x(x∈BAx使A)】 或3.2 集合间的关系 · 45 · (5) 元素和集合之间的关系是隶属关系, 即属于或不属于, 可以用一种树形图来表示这 种隶属关系, 该图分层构成, 每个层上的结点都表示一个集合, 它的儿子就是它的元素. 集合 S = {a, {1, 2}, p, {q}} 的树形图如图 3.1 所示. 图 3.1 元素和集合间隶属关系的树形图 3.2 集合间的关系 在 3.1 节中, 给出了“集合”“元素”以及元素与集合间的“属于”关系 3 个概念的直观 描述, 以说明它们各自的含义. 下面利用这 3 个概念定义集合间的关系. 定义 3.1 设 A、B 是任意两个集合, 如果 A 中的每一个元素都是 B 中的元素, 则称 A 是 B 的子集合, 简称子集. 也称 A 被 B 包含, 或 B 包含 A. 记作 A ⊆ B 或 B ⊇ A. 符号 化表示为 A ⊆ B ⇔ ∀x ( x ∈ A → x ∈ B) 如果 A 不被 B 包含, 则记作 A * B. 符号化表示为 A * B ⇔ ∃x ( x ∈ A ∧ x /∈ B) 例如, A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {b, c, d}, 则有 A ⊆ B, 但 A * C. 注意符号 ∈ 和 ⊆ 的区别, ∈ 表示元素与集合间的“属于”关系, ⊆ 表示集合间的“包含” 关系. 定义 3.2 设 A, B 是两个集合, 如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A, 则称 A 与 B相等, 记作 A = B. 符号化表示为 A = B ⇔ A ⊆ B且B ⊆ A 如果 A 与 B 不相等, 则记作 A 6= B. 该定义给出了一个重要原则: 要证明两个集合相等, 唯一的方法就是证明每一个集合中 的任一元素均是另一个集合的元素. 定义 3.3 设 A、B 是两个集合, 如果 A 是 B 的子集, 而 B 中至少有一个元素不属于 A, 则称 A 为 B 的真子集, 记作 A ⊂ B. 符号化表示为 A ⊂ B ⇔ ∀x ( x ∈ A → x ∈ B) ∧ ∃x ( x ∈ B ∧ x /∈ A) 或