3、讨论函数项f(x)=x”-x"(0≤x≤1)的一致收敛性 四证明题:(每小题10分,共20分) 1设r(D连续,证明[(0x-h=h 2证明n=y0(x2-y2)满足y2+xa=xn 参考答案 、1、设∫(x)在[a,b]连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则成立 f(xdx= F(b)-F(a 2、设函数f(x)在[a,+∞)有定义,且在任意有限区间[a,上可积。若极限 im[f(x)d存在,则称反常积分收敛,否则称反常积分发散 3、如果S的任意一个开覆盖{}中总存在一个有限子覆盖,即存在{}中的有 限个开集{叫k,满足UUnS,则称S为紧集 4+14x么 (7分) 1+t 2、解:两曲线的交点为(-2,4),(1,1),(2分) 所求的面积为:「(2-x-x2)dx=(5分 imym(n+2)=1,收敛半径为1(4分),由于x=士1时,级数不收敛, 所以级数的收敛域为(-1,1)(3分) au ax du=edx+(xce+1)dy+(xye+e- ) dE(3) +l) (7分) x(√1+xy+1) 0k≠1 、1、解、由于沿y=kx趋于(0,0)时,im 所以3、讨论函数项 ( ) (0 1) 1 = −   + f x x x x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：(每小题 10 分，共 20 分） 1 设 f（x）连续，证明 f u x u du  f x dxdu x x u    − = 0 0 0 ( )( ) ( ) 2 证明 ( ) 2 2 u = y x − y 满足 u y x y u x x u y =   +   参考答案 一、1、设 f (x) 在 [a,b] 连续， F(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则成立 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  。 2、设函数 f (x) 在 [a,+) 有定义，且在任意有限区间 [a, A] 上可积。若极限  → A A a lim f (x)dx 存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散 3、如果 S 的任意一个开覆盖 U 中总存在一个有限子覆盖，，即存在 U 中的有 限个开集   k i i U =1  ，满足 U S i k i  =  1  ，则称 S 为紧集 二、1、 ] 1 1 [ 2 1 4 0 4 2   + + + x dx t dt dx d x = 0 4 8 1 2 1 2 x x t dt dx d x + = +  （7 分） 2、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2 分） 所求的面积为： 2 9 (2 ) 1 2 2 − − = − x x dx （5 分） 3 ： lim ( + 2) =1 → n n n n ，收敛半径为 1（4 分），由于 x = 1 时，级数不收敛， 所以级数的收敛域为（-1，1）（3 分） 4： x u   = yz e y u   = +1 yz xze z u   = yz z xye e − + （4 分） du e dx xze dy xye e dz yz yz yz z ( 1) ( ) − = + + + + （3 分） 5、解： 2 1 ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 1 1 lim 0 0 0 0 = + + + − + + = + − → → → → x y x y x y x y x y x y y x y x （7 分） 三、1、解、由于沿 y = kx 趋于（0，0）时，    =  = → + − 1 1 0 1 ( ) lim 2 2 2 2 2 ( , ) (0,0) k k x y x y x y x kx ，所以