·1006· 工程科学学报，第38卷，第7期 不同B时流场中心线处速度的演化.图8说明在亚扩 显增强，即出现速度过冲现象，且流场速度衰减程度越 散的情形，B的值越小，初始速度越大，流场速度衰减 强。图10和图11再一次说明速度过冲现象主要取决 程度越强.B的变化对流体的弹性性质几乎没有影 于动量方程时间分数阶参数a 响，流场中没有出现速度过冲现象.图9说明在超扩 4 散的情形，B的值越小，流体的弹性性质越强，出现明 结论 显的速度过冲现象，且流场速度衰减程度越强。图8 本文研究二阶流体在平板上的脉冲泊肃叶流动问 和图9说明速度过冲现象主要取决于动量方程时间分 题，并将分数阶微积分分别引入二阶流体的本构方程 数阶参数α.二阶流体本构方程中的分数阶参数B虽 与动量方程，更真实地反应实际流动.利用傅里叶正 然也影响流体的弹性性质，但不起决定性作用 弦变换和分数阶拉普拉斯变换，得到问题的解析解，并 1.0 进行数值模拟.结果表明速度过冲现象主要取决于动 0.9 -1=0.1 量方程时间分数阶参数α，虽然B和延迟时间入影响 0.8 -1=0.3 ◆元=0.5 流体的弹性性质，但不起决定性作用.当α>1时，流 0.7 体表现出弹性增大且速度波动的现象，即速度过冲现 0.6 象.当α=1.8时，由于流体的黏弹性质，流场出现了 0.5 0.4 轻微的回流现象.同时，由于压力梯度为狄拉克δ函 0.3 数，随着时间推移，流场的速度逐渐衰减，若想得到持 0.2 续的流动，需再次进行脉冲加压 0.1 0002040.60.81.0121.41.6182.0 参考文献 图10当a=0.8B=0.6、y=0.5和p=h=1时，A对流场中心 [1]Kilbas AA,Srivastava H M,Trujillo JJ.Theory and applications 线处速度的影响 of fractional differential equations.North Holl Math Stud,2006, Fig.10 Variation of velocity u(y,t)in the center line of the flow 204:1 field for different A values,in which a=0.8,B=0.6,y=0.5 and Mandelbrot BB.The Fractal Geometry of Nature.New York:W. v=h=1 H.Freeman and Company,1982 Sadeghy K,Sharifi M.Local similarity solution for the flow of a 0.35 "second-grade"viscoelastic fluid above a moving plate.Int I Non 0.30 -1=0.1 Linear Mech,2004,39(8):1265 -1=0.2 0.25 +-i-0.3 4]Xu M Y,Tan WC.Representation of the constitutive equation of 0.20 viscoelastic materials by the generalized fractional element net- works and its generalized solution.Sci China Ser G,2003,46 0.15 (2):145 0.10 5]Metzler R,Nonnenmacher T F.Fractional relaxation process and 0.05 fractional rheological models for the description of a class of vi- 0 coelastic materials.Int J Plast,2003,19(7):941 6]Jin H.Xu M Y.Analytical solutions of generalized second order -0.05002040.60.810121.41.61.82.0 fluid flow past an impulsively started plate.J Shandong Unin, 2003,38(2):10 图11当a=1.6B=0.6y=0.5和v=h=1时，A对流场中心 (金辉，徐明瑜.对广义二阶流体介质中平板的突然起动引起 线处速度的影响 的流动分析.山东大学学报（理学版），2003,38(2)：10) Fig.11 Variation of velocity u (y,t)in the center line of the flow 7]Tan W C,Xu M Y.Unsteady flows of a generalized second grade field for different A values,in which a=1.6,B=0.6,y=0.5 and fluid with the fractional derivative model between two parallel y=h=1 plates.Acta Mech Sin,2004,20(5)471 [8]Ulah S,Maqbool I.Some exact solutions to equations of motion of 图10和图11分别给出在亚扩散和超扩散情形 an incompressible second grade fluid.J Fluids Eng,2015,137 下，不同的延迟时间入流场中心线处速度的演化.图 (1):011205 10说明在亚扩散情形，入的值越小，初始速度越大，且 ⊙ Akinbobola TE,Okoya SS.The flow of second grade fluid over a stretching sheet with variable thermal conductivity and viscosity in 流场速度衰减程度越强.入的变化对流体的弹性性质 the presence of heat source/sink.J Nigerian Math Soc,2015,34 几乎没有影响，流场中没有出现速度过冲现象.图11 (3):331 说明在超扩散的情形，入的值越小，流体的弹性性质明 [10]Lin Y,Jiang W.Numerical method for Stokes'first problem for工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 不同 β 时流场中心线处速度的演化． 图 8 说明在亚扩 散的情形，β 的值越小，初始速度越大，流场速度衰减 程度越强． β 的变化对流体的弹性性质几乎没有影 响，流场中没有出现速度过冲现象． 图 9 说明在超扩 散的情形，β 的值越小，流体的弹性性质越强，出现明 显的速度过冲现象，且流场速度衰减程度越强． 图 8 和图 9 说明速度过冲现象主要取决于动量方程时间分 数阶参数 α． 二阶流体本构方程中的分数阶参数 β 虽 然也影响流体的弹性性质，但不起决定性作用． 图 10 当 α = 0. 8、β = 0. 6、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，λ 对流场中心 线处速度的影响 Fig． 10 Variation of velocity u( y，t) in the center line of the flow field for different λ values，in which α = 0. 8，β = 0. 6，y = 0. 5 and ν = h = 1 图 11 当 α = 1. 6、β = 0. 6、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，λ 对流场中心 线处速度的影响 Fig． 11 Variation of velocity u ( y，t) in the center line of the flow field for different λ values，in which α = 1. 6，β = 0. 6，y = 0. 5 and ν = h = 1 图 10 和图 11 分别给出在亚扩散和超扩散情形 下，不同的延迟时间 λ 流场中心线处速度的演化． 图 10 说明在亚扩散情形，λ 的值越小，初始速度越大，且 流场速度衰减程度越强． λ 的变化对流体的弹性性质 几乎没有影响，流场中没有出现速度过冲现象． 图 11 说明在超扩散的情形，λ 的值越小，流体的弹性性质明 显增强，即出现速度过冲现象，且流场速度衰减程度越 强． 图 10 和图 11 再一次说明速度过冲现象主要取决 于动量方程时间分数阶参数 α． 4 结论 本文研究二阶流体在平板上的脉冲泊肃叶流动问 题，并将分数阶微积分分别引入二阶流体的本构方程 与动量方程，更真实地反应实际流动． 利用傅里叶正 弦变换和分数阶拉普拉斯变换，得到问题的解析解，并 进行数值模拟． 结果表明速度过冲现象主要取决于动 量方程时间分数阶参数 α，虽然 β 和延迟时间 λ 影响 流体的弹性性质，但不起决定性作用． 当 α ＞ 1 时，流 体表现出弹性增大且速度波动的现象，即速度过冲现 象． 当 α = 1. 8 时，由于流体的黏弹性质，流场出现了 轻微的回流现象． 同时，由于压力梯度为狄拉克 δ 函 数，随着时间推移，流场的速度逐渐衰减，若想得到持 续的流动，需再次进行脉冲加压． 参 考 文 献 ［1］ Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J． Theory and applications of fractional differential equations． North Holl Math Stud，2006， 204: 1 ［2］ Mandelbrot B B． The Fractal Geometry of Nature． New York: W． H． Freeman and Company，1982 ［3］ Sadeghy K，Sharifi M． Local similarity solution for the flow of a “second-grade”viscoelastic fluid above a moving plate． Int J Non Linear Mech，2004，39( 8) : 1265 ［4］ Xu M Y，Tan W C． Ｒepresentation of the constitutive equation of viscoelastic materials by the generalized fractional element net￾works and its generalized solution． Sci China Ser G，2003，46 ( 2) : 145 ［5］ Metzler Ｒ，Nonnenmacher T F． Fractional relaxation process and fractional rheological models for the description of a class of vi￾coelastic materials． Int J Plast，2003，19( 7) : 941 ［6］ Jin H，Xu M Y． Analytical solutions of generalized second order fluid flow past an impulsively started plate． J Shandong Univ， 2003，38( 2) : 10 ( 金辉，徐明瑜． 对广义二阶流体介质中平板的突然起动引起 的流动分析． 山东大学学报( 理学版) ，2003，38( 2) : 10) ［7］ Tan W C，Xu M Y． Unsteady flows of a generalized second grade fluid with the fractional derivative model between two parallel plates． Acta Mech Sin，2004，20( 5) : 471 ［8］ Ullah S，Maqbool I． Some exact solutions to equations of motion of an incompressible second grade fluid． J Fluids Eng，2015，137 ( 1) : 011205 ［9］ Akinbobola T E，Okoya S S． The flow of second grade fluid over a stretching sheet with variable thermal conductivity and viscosity in the presence of heat source / sink． J Nigerian Math Soc，2015，34 ( 3) : 331 ［10］ Lin Y，Jiang W． Numerical method for Stokes’first problem for · 6001 ·