广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析

工程科学学报，第38卷，第7期：1002-1007,2016年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.7:1002-1007,July 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.07.016:http://journals..ustb.edu.cn 广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 张 艳四，张敏，黄震 北京建筑大学理学院，北京100044 ☒通信作者，E-mail:zhangbicea(@sohu.com 摘要讨论了广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动，引入黎曼一刘维尔分数阶微分建立本构方程，结合不可压缩流体时间分数 阶动量方程，得到控制方程.利用傅里叶正弦变换和分数阶拉普拉斯变换，获得流体速度解析解.利用Stehfest算法对结果进 行数值模拟，通过图像讨论了分数阶参数以及延迟时间对流动的影响.结果表明速度过冲现象主要取决于动量方程的时间 分数阶参数 关键词广义二阶流体：脉冲：泊肃叶流动：拉普拉斯变换；傅里叶变换 分类号0351.2：0175.2 Analysis of the impulse Poiseuille flow of generalized second grade fluid ZHANG Yan,ZHANG Min,HUANG Zhen School of Science,Beijing University of Civil Engineering and Architecture,Beijing 100044,China Corresponding author,E-mail:zhangbicea@sohu.com ABSTRACT The impulse Poiseuille flow of generalized second grade fluid was discussed in this paper.Combining the Riemann-Li- ouville fractional constitutive equation of second grade fluid with the fractional momentum equation of incompressible fluid,a new gov- erning equation was established.The velocity analytical solution was obtained based on the Fourier sine transform and the fractional Laplace transform.The numerical simulation was performed by Stehfest algorithm method.The influences of various relevant parame- ters such as fractional derivative parameters and retardation time were elucidated through graphs.The results show that the velocity overshoot phenomenon mainly depends on the time fractional parameter of the momentum equation. KEY WORDS generalized second grade fluid;impulse:Poiseuille flow;Laplace transforms:Fourier transforms 近年来，分数阶微积分在物理、力学、生物、通信工来表述，弹性行为可以由弹簧所代表的线弹性体来刻 程等多个领域都得到广泛的应用，已经引起国内外许画.二阶流体田因其在工业以及工程领域的广泛应用 多学者的广泛关注0.Mandelbrot回提出存在于科技受到众多研究人员的关注，诸多高分子聚合物溶液均 领域的分数维数以及整体与部分之间的自相似现象， 属于二阶流体.作为工业领域常见的微分型非牛顿流 分数阶微积分由此得到快速发展，众多数学家一直致 体，其本构方程的刻画存在难度.近年来，随着分数阶 力完善分数阶微积分的理论以及系统框架构建，其体 微积分理论的逐渐成熟，众多学者在利用分数阶微积 系愈发完善 分描述黏弹性流体本构关系上取得很大进展.用 黏弹性流体同时具有固体的弹性行为与流体的黏 黎曼一刘维尔分数阶算子替换对时间的整数阶导数， 性行为，工业领域中水泥砂浆和混凝土，地质学方面的 从而使问题的研究更加具有广泛性.金辉和徐明瑜网 沥青、石油以及生命体的血液、体液都属于黏弹性流 由平板突然起动引起的广义二阶流体流动问题进行分 体。流体的黏性行为可由黏壶所代表的牛顿黏性流体 析.Tan和Xum用分数阶导数模型研究两平板间广义 收稿日期：201601-30 基金项目：国家自然科学基金资助项目(21206009,21576023)：北京建筑大学学术创新团队资助项目(21221214111)

工程科学学报，第 38 卷，第 7 期: 1002--1007，2016 年 7 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 7: 1002--1007，July 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 07． 016; http: / /journals． ustb． edu． cn 广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 张 艳，张 敏，黄 震 北京建筑大学理学院，北京 100044  通信作者，E-mail: zhangbicea@ sohu． com 摘 要 讨论了广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动，引入黎曼--刘维尔分数阶微分建立本构方程，结合不可压缩流体时间分数 阶动量方程，得到控制方程． 利用傅里叶正弦变换和分数阶拉普拉斯变换，获得流体速度解析解． 利用 Stehfest 算法对结果进 行数值模拟，通过图像讨论了分数阶参数以及延迟时间对流动的影响． 结果表明速度过冲现象主要取决于动量方程的时间 分数阶参数． 关键词 广义二阶流体; 脉冲; 泊肃叶流动; 拉普拉斯变换; 傅里叶变换 分类号 O351. 2; O175. 2 Analysis of the impulse Poiseuille flow of generalized second grade fluid ZHANG Yan ，ZHANG Min，HUANG Zhen School of Science，Beijing University of Civil Engineering and Architecture，Beijing 100044，China  Corresponding author，E-mail: zhangbicea@ sohu． com ABSTＲACT The impulse Poiseuille flow of generalized second grade fluid was discussed in this paper． Combining the Ｒiemann--Li￾ouville fractional constitutive equation of second grade fluid with the fractional momentum equation of incompressible fluid，a new gov￾erning equation was established． The velocity analytical solution was obtained based on the Fourier sine transform and the fractional Laplace transform． The numerical simulation was performed by Stehfest algorithm method． The influences of various relevant parame￾ters such as fractional derivative parameters and retardation time were elucidated through graphs． The results show that the velocity overshoot phenomenon mainly depends on the time fractional parameter of the momentum equation． KEY WOＲDS generalized second grade fluid; impulse; Poiseuille flow; Laplace transforms; Fourier transforms 收稿日期: 2016--01--30 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 21206009，21576023) ; 北京建筑大学学术创新团队资助项目( 21221214111) 近年来，分数阶微积分在物理、力学、生物、通信工 程等多个领域都得到广泛的应用，已经引起国内外许 多学者的广泛关注［1］． Mandelbrot［2］提出存在于科技 领域的分数维数以及整体与部分之间的自相似现象， 分数阶微积分由此得到快速发展，众多数学家一直致 力完善分数阶微积分的理论以及系统框架构建，其体 系愈发完善． 黏弹性流体同时具有固体的弹性行为与流体的黏 性行为，工业领域中水泥砂浆和混凝土，地质学方面的 沥青、石油以及生命体的血液、体液都属于黏弹性流 体． 流体的黏性行为可由黏壶所代表的牛顿黏性流体 来表述，弹性行为可以由弹簧所代表的线弹性体来刻 画． 二阶流体［3］因其在工业以及工程领域的广泛应用 受到众多研究人员的关注，诸多高分子聚合物溶液均 属于二阶流体． 作为工业领域常见的微分型非牛顿流 体，其本构方程的刻画存在难度． 近年来，随着分数阶 微积分理论的逐渐成熟，众多学者在利用分数阶微积 分描述黏弹性流体本构关系上取得很大进展［4--5］． 用 黎曼--刘维尔分数阶算子替换对时间的整数阶导数， 从而使问题的研究更加具有广泛性． 金辉和徐明瑜［6］ 由平板突然起动引起的广义二阶流体流动问题进行分 析． Tan 和 Xu［7］用分数阶导数模型研究两平板间广义

张艳等：广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 ·1003· 二阶流体的非定常流动.UIah和Maqbool研究不可 其中「(·)是伽玛函数 压缩二阶流体的精确解.Akinbobola和Okoya研究热 假设二阶流体速度为： 源对伸展板上二阶流体的流动的影响.针对广义二阶 V=u(y,t）i,S=S(y,t) (5) 流体，还有其他学者进行不同方面的探讨0-四 这里u是直角坐标系中x方向的速率，i是x方向的单 脉冲流动在工程实际中有广泛的应用，如血液在 位矢量. 血管中的流动和容积式泵输出的流体流动等.Fernan-- 将式（⑤）代入方程(2)，考虑到条件 dez-Feria和Alaminos-Quesada研究Maxwell模型下 S(y,0)=0,y>0, 脉冲流动，得到近似解.Wag等分析层流脉冲流动 以及应力张量S中的元素S,=S.=S.=S,.=0和 中热传递效应.关于脉冲在不同形状管道中的流动， S,=S.,方程(2)可简化为 众多学者进行多方面研究5刀 S.（y,t）=u(1+AD)a,u(y,t） (6) 由反常扩散理论得到启发，El-Shahed和Salem 其中S,（y,)=r(y,）是剪切力. 将N-S方程中时变加速项的时间一阶导数取代以分 不可压缩流体动量方程为 数阶导数，得到广义纳维一斯托克斯方程，更灵活地利 p品y=T+,T-1+s (7) 用分数阶微分方程描述流体控制方程.Momani和 其中p是流体的密度，b是质量力，T是柯西应力张量， Odibat在此基础上，利用Adomian分解法研究了特 -pl表示压力.将本构方程(6)代入动量方程(7)，考 殊流动形式下广义N-S方程的半分析解.Kumar四用 虑在相距为h的两个平板之间充满由方程(2)描述的 修正的拉普拉斯分解方法研究广义N-S方程的解析 黏弹性流体，由单位脉冲引起的泊肃叶流动，可得 解，然而将广义的分数阶本构关系和广义的分数阶动 量方程相结合的研究还未见报道. =A6(D+1+AD)g (8) at 受以上工作的启发，本文引入黎曼一刘维尔分数 将动量方程中的时变-加速度项替换为a阶Riemann一 阶微分建立广义二阶流体的本构方程，进一步将动量 Liouville分数阶导数，即 方程中速度对时间的导数替换为分数阶，将本构方程 Du（,）=A6()+m(1+AD9)u, 2 (9) 与动量方程相结合，研究广义二阶流体在平板上的脉 冲泊肃叶流动，利用傅里叶正弦变换、分数阶拉普拉斯 相应的初始条件与边界条件为： 变换以及广义Mittag--Leffler函数，得到问题的精确解 u(y,0)=0,00. (13) 用分数阶导数的拉普拉斯变换作用于方程(12)的两 上随体导数A的定义为 边，并利用初始条件(13)，得到 DA=DA+V VA-LA-ALT. (3) 豆.(，）=40-（-】-g1+）元.(a,, 其中V是速度，7是梯度算子，D:是黎曼一刘维尔型分 数阶导数，其定义如下： (14) wda盖， 4(m,）=40-(-1)] 1 s°+w(1+A) 0≤<1. (4) (15)

张 艳等: 广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 二阶流体的非定常流动． Ullah 和 Maqbool［8］研究不可 压缩二阶流体的精确解． Akinbobola 和 Okoya 研究热 源对伸展板上二阶流体的流动的影响． 针对广义二阶 流体，还有其他学者进行不同方面的探讨［10--12］． 脉冲流动在工程实际中有广泛的应用，如血液在 血管中的流动和容积式泵输出的流体流动等． Fernan￾dez--Feria 和 Alaminos--Quesada［13］研究 Maxwell 模型下 脉冲流动，得到近似解． Wang 等［14］分析层流脉冲流动 中热传递效应． 关于脉冲在不同形状管道中的流动， 众多学者进行多方面研究［15--17］． 由反常扩散理论得到启发，El--Shahed 和 Salem［18］ 将 N--S 方程中时变加速项的时间一阶导数取代以分 数阶导数，得到广义纳维--斯托克斯方程，更灵活地利 用分数 阶 微 分 方 程 描 述 流 体 控 制 方 程． Momani 和 Odibat［19］在此基础上，利用 Adomian 分解法研究了特 殊流动形式下广义 N--S 方程的半分析解． Kumar［20］用 修正的拉普拉斯分解方法研究广义 N--S 方程的解析 解，然而将广义的分数阶本构关系和广义的分数阶动 量方程相结合的研究还未见报道． 受以上工作的启发，本文引入黎曼--刘维尔分数 阶微分建立广义二阶流体的本构方程，进一步将动量 方程中速度对时间的导数替换为分数阶，将本构方程 与动量方程相结合，研究广义二阶流体在平板上的脉 冲泊肃叶流动，利用傅里叶正弦变换、分数阶拉普拉斯 变换以及广义 Mittag--Leffler 函数，得到问题的精确解 析解． 同时利用 Stehfest 算法［21--22］对结果进行数值模 拟，通过图像讨论分数阶导数的阶数 α、β、延迟时间 λ 等参数对于脉冲流动的影响． 1 模型的建立与控制方程 二阶流体本构方程如下: σ = μ ε· + μλ ε ·· ． ( 1) 其中 μ 为 运 动 黏 性 系 数，λ 为 延 迟 时 间． 根 据 文 献 ［23］，由本构方程( 1) 得到其上随体模型: S = μ( 1 + λ D 槇β t ) A． ( 2) 其中 S 是额外应力张量，A = L + LT 是一阶里夫林--矣 里克森张量，其中 L 是速度梯度，β 是分数阶导数的 阶数． 上随体导数 D 槇α t A 的定义为 D 槇α t A = Dα t A + V Δ A － LA － ALT ． ( 3) 其中 V 是速度， Δ 是梯度算子，Dα t 是黎曼--刘维尔型分 数阶导数［24］，其定义如下: Dα t f( t) = 1 Γ( 1 － α) d dt ∫ t 0 f( τ) ( t － τ) α dτ， 0≤α ＜ 1． ( 4) 其中 Γ(·) 是伽玛函数． 假设二阶流体速度为: V = u( y，t) i，S = S( y，t) ． ( 5) 这里 u 是直角坐标系中 x 方向的速率，i 是 x 方向的单 位矢量． 将式( 5) 代入方程( 2) ，考虑到条件 S( y，0) = 0，y ＞ 0， 以及应力张量 S 中的元素 Syy = Szz = Sxz = Syz = 0 和 Sxy = Syx，方程( 2) 可简化为 Sxy ( y，t) = μ( 1 + λDβ t ) yu( y，t) ． ( 6) 其中 Sxy ( y，t) = τ( y，t) 是剪切力． 不可压缩流体动量方程为 ρ D Dt V = Δ T + ρb，T = － pI + S． ( 7) 其中 ρ 是流体的密度，b 是质量力，T 是柯西应力张量， － pI 表示压力． 将本构方程( 6) 代入动量方程( 7) ，考 虑在相距为 h 的两个平板之间充满由方程( 2) 描述的 黏弹性流体，由单位脉冲引起的泊肃叶流动，可得 u t = Aδ( t) + ν( 1 + λβ Dβ t )  2 u y 2 ． ( 8) 将动量方程中的时变--加速度项替换为 α 阶 Ｒiemann-- Liouville 分数阶导数，即 Dα t u( y，t) = Aδ( t) + ν( 1 + λβ Dβ t )  2 u( y，t) y 2 ． ( 9) 相应的初始条件与边界条件为: u( y，0) = 0，0 ＜ y ＜ h; ( 10) u( 0，t) = u( h，t) = 0，t≥0． ( 11) 2 控制方程的解析解 对方程( 9) 作傅里叶正弦变换，即方程两边同乘 以 槡2 /πsin ( yn) ，然后 对 y 从 0 到∞ 进 行 积 分，记 us( n，t) = 2 槡 /π ∫ ∞ 0 sin ( yn) u( y，t) dy，利用边界条件 ( 11) 得到 Dα t us( n，t) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn δ( t) － νψ2 n ( 1 + λβ Dβ t ) us( n，t) ． ( 12) 其中 ψn = nπ/ h，u( y，t) 的傅里叶正弦变换 us ( n，t) 满 足以下条件: us( n，0) = 0，n ＞ 0． ( 13) 用分数阶导数的拉普拉斯变换作用于方程( 12) 的两 边，并利用初始条件( 13) ，得到 s α us( n，s) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn － νψ2 n ( 1 + λβ s β ) us( n，s) ， ( 14) us ( n，s) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn 1 s α + νψ2 n ( 1 + λβ s β ) ． ( 15) · 3001 ·

·1004· 工程科学学报，第38卷，第7期 为了避免复杂的留数计算与周线积分，假设B>《,将 0.35 式(15)整理为级数形式 0.30 a.a,）=40--)11方 （-1)入-B. 。 0.25 s-al-a 0.20 (16) -+1 、k+1 0.15 +w2A8) —4=0.9 0.10 对上式进行Laplace逆变换，利用广义Mittag-Leffler函 +=1.3 0.05 数的拉普拉斯变换性质 L{}=g(d,0n 0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 (17) 图1当B=0.6、A=1、t=0.1和v=h=1时，a对速度的影响 Fig.1 Variation of velocity u(y,t)for different a values,in which 得到 B=0.6,A=1,t=0.1andv=h=1 a4-an… 0.35 =0.4 (18) 0.30 B=-0.6 +-B=0.8 0.25 其中En()和E(a)分别是Mittag-Leffler函数和它 的k阶导数 0.20 再对(18)进行傅里叶正弦逆变换，得速度场的解 0.15 析解为 0.10 -2含40的含. 0.05 ()(受）o 00.10.20.30.4050.60.70.80.91.0 当B1时流动对 Fig.3 Variation of velocity u(y,t)for different A values,in which a=0.9,B=0.6,t=0.1andv=h=1 应超扩散：α=1为正常扩散：<1对应亚扩散.由图 1可知，α的值越大，流动速度越快.图2说明B的值 演化.图5可以看出，当≤1时，即对应亚扩散和正 越大，流动速度越慢.图3说明延迟时间越长，流动速 常扩散时，流场中没有速度过冲现象，并且α值越小， 度越慢.图4中，由于压力梯度为狄拉克6函数，随着 初始速度越大，随时间衰减的程度越强.在图6中，当 时间推移，流场的速度逐渐衰减。若想得到持续的流 α=1.3时，出现轻微速度过冲现象.图7有力地说明， 动，可以考虑在速度衰减过程中，再次进行脉冲加压。 随着α值的进一步增大，流体表现出弹性增大且速度 图5~图7给出不同α值时流场中心线处速度的 出现波动，即明显的速度过冲现象.当α=1.8时，由

工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 为了避免复杂的留数计算与周线积分，假设 β ＞ α，将 式( 15) 整理为级数形式 us( n，s) = A［1 － ( － 1) n ］ ψn 1 νψ2 n ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k λ － βk － β · s － αk － ( α s β － α + 1 νψ2 nλβ ) k + 1 ． ( 16) 对上式进行 Laplace 逆变换，利用广义 Mittag--Leffler 函 数的拉普拉斯变换性质 L { － 1 k! s λ － μ ( s λ c) k + 1 } = t λk + μ － 1E( k) λ，μ ( ± ctλ ) ，Ｒe ( s) ＞ |c| 1/λ ( 17) 得到 us( n，t) = A［1 － ( － 1) n ］ νψ3 n ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k k! λ － βk － β t β( k + 1) － 1· E( k) β － α，β + αk ( － t β － α vψ2 nλβ ) ． ( 18) 其中 Eλ，μ ( z) 和 E( k) λ，μ ( z) 分别是 Mittag--Leffler 函数和它 的 k 阶导数． 再对( 18) 进行傅里叶正弦逆变换，得速度场的解 析解为 u( y，t) = 2 h ∑ ∞ n = 1 A［1 － ( － 1) n ］ νψ3 n ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k k! λ － βk － β · t β( k + 1) － 1E( k) β － α，β + αk ( － t β － α v ψ2 nλβ ) ( sin nπy ) h ． ( 19) 当 β ＜ α 时，利用相同的计算步骤可得 u( y，t) = 2 h ∑ ∞ n = 1 A［1 － ( － 1) n ］ ψn ∑ ∞ k = 0 ( － 1) k k! ( νψ2 n ) k · t α( k + 1) － 1E( k) α － β，α + βk ( － v ψ2 nλβ t α － β ) ( sin nπy ) h ． ( 20) 当 β = α 时，即 u( y，t) = 2 h ∑ ∞ n = 1 A［1 － ( － 1) n ］ ψn 1 1 + νψ2 nλα t α － 1· Eα，α ( － νψ2 n 1 + νψ2 nλα t ) α ( sin nπy ) h ． ( 21) 3 数值模拟及结果讨论 对上述的问题求得的解析解，采用 Stehfest 算法进 行数值模拟，得到如下图 1 ～ 图 11． 图 1 ～ 图 4 分别给出分数阶参数 α、β、延迟时间 λ 以及时间 t 对二阶流体速度的影响． 当 α ＞ 1 时流动对 应超扩散; α = 1 为正常扩散; α ＜ 1 对应亚扩散． 由图 1 可知，α 的值越大，流动速度越快． 图 2 说明 β 的值 越大，流动速度越慢． 图 3 说明延迟时间越长，流动速 度越慢． 图 4 中，由于压力梯度为狄拉克 δ 函数，随着 时间推移，流场的速度逐渐衰减． 若想得到持续的流 动，可以考虑在速度衰减过程中，再次进行脉冲加压． 图 5 ～ 图 7 给出不同 α 值时流场中心线处速度的 图 1 当 β = 0. 6、λ = 1、t = 0. 1 和 ν = h = 1 时，α 对速度的影响 Fig． 1 Variation of velocity u( y，t) for different α values，in which β = 0. 6，λ = 1，t = 0. 1 and ν = h = 1 图 2 当 α = 0. 9、λ = 1、t = 0. 1 和 ν = h = 1 时，β 对速度的影响 Fig． 2 Variation of velocity u( y，t) for different β values，in which α = 0. 9，λ = 1，t = 0. 1 and ν = h = 1 图 3 当 α = 0. 9、β = 0. 6、t = 0. 1 和 ν = h = 1 时，λ 对速度的影响 Fig． 3 Variation of velocity u( y，t) for different λ values，in which α = 0. 9，β = 0. 6，t = 0. 1 and ν = h = 1 演化． 图 5 可以看出，当 α≤1 时，即对应亚扩散和正 常扩散时，流场中没有速度过冲现象，并且 α 值越小， 初始速度越大，随时间衰减的程度越强． 在图 6 中，当 α = 1. 3 时，出现轻微速度过冲现象． 图 7 有力地说明， 随着 α 值的进一步增大，流体表现出弹性增大且速度 出现波动，即明显的速度过冲现象． 当 α = 1. 8 时，由 · 4001 ·

张艳等：广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 ·1005· 0.50 045 =0.05 0.35 -1=0.10 0.30 -=14 0.40 +-=015 0.35 025 =l.6 -+=1.8 0.30 0.20 =0.25 0.15 0.20 0.10 0.15 0.05 0.10 0.05 -0.05 0 0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 0.10020406081012141.61820 图4当a=0.9、B=0.6、A=1和r=h=1时，t对速度的影响 图7当B=0.6、A=1、y=0.5和v=h=1时，不同a时流场中心 Fig.4 Variation of velocity u(y,t)for different t values,in which a 线处速度的演化 =0.9,B=0.6,A=1andv=h=1 Fig.7 Variation of velocity u(y,t)in the center line of the flow 红 field for different a values,in which B=0.6,A =1,y=0.5 and v= h=1 1.2 =0.6 =0.8 1.0 +-a=1.0 1.4 0.8 1.2 =0.4 B=0.6 1.0 =0.8 0.4 0.8 0.2 0.6 0020406080146820 0.4 0.2 图5当B=0.6、A=1y=0.5和v=h=1时，不同a时流场中心 线处速度的演化 000204060.81.01214161820 Fig.5 Variation of velocity u(y,t)in the center line of the flow field for different a values,in which B=0.6,A=1,y=0.5 and v= 图8当a=0.8、A=1、y=0.5和=h=1时，B对流场中心线处 h=1 速度的影响 Fig.8 Variation of velocity u(y,t)in the center line of the flow 0.8 field for different B values,in which a=0.8,A =1,y=0.5 and y= 0.7 h=1 -a=0.9 0.6 -a=1.1 +=1.3 0.35m 0.5 04 0.30 —B=0.4 -B=0.6 0.3 0.25 +-=0.8 0.20 0.1 =0.15 0 0.10 -0.1 00.20.40.60.81.01.2141.61.82.0 0.05 0 图6当B=0.6、A=1、y=0.5和v=h=1时，不同a时流场中心 线处速度的演化 -0.05002040.6081012141.61.820 Fig.6 Variation of velocity u(y,t)in the center line of the flow field for different a values,in which B=0.6,A =1,y=0.5 and v= 图9当a=1.6、A=1、y=0.5和v=h=1时，B对流场中心线处 速度的影响 h=1 Fig.9 Variation of velocity u(y,t)in the center line of the flow 于流体的黏弹性质，流场出现轻微的回流现象 field for different B values,in which a=1.6,=1,y=0.5 andv= 图8和图9分别给出在亚扩散和超扩散情形下， h=1

张 艳等: 广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 图 4 当 α = 0. 9、β = 0. 6、λ = 1 和 ν = h = 1 时，t 对速度的影响 Fig． 4 Variation of velocity u( y，t) for different t values，in which α = 0. 9，β = 0. 6，λ = 1 and ν = h = 1 图 5 当 β = 0. 6、λ = 1、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，不同 α 时流场中心 线处速度的演化 Fig． 5 Variation of velocity u( y，t) in the center line of the flow field for different α values，in which β = 0. 6，λ = 1，y = 0. 5 and ν = h = 1 图 6 当 β = 0. 6、λ = 1、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，不同 α 时流场中心 线处速度的演化 Fig． 6 Variation of velocity u( y，t) in the center line of the flow field for different α values，in which β = 0. 6，λ = 1，y = 0. 5 and ν = h = 1 于流体的黏弹性质，流场出现轻微的回流现象． 图 8 和图 9 分别给出在亚扩散和超扩散情形下， 图 7 当 β = 0. 6、λ = 1、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，不同 α 时流场中心 线处速度的演化 Fig． 7 Variation of velocity u( y，t) in the center line of the flow field for different α values，in which β = 0. 6，λ = 1，y = 0. 5 and ν = h = 1 图 8 当 α = 0. 8、λ = 1、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，β 对流场中心线处 速度的影响 Fig． 8 Variation of velocity u( y，t) in the center line of the flow field for different β values，in which α = 0. 8，λ = 1，y = 0. 5 and ν = h = 1 图 9 当 α = 1. 6、λ = 1、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，β 对流场中心线处 速度的影响 Fig． 9 Variation of velocity u( y，t) in the center line of the flow field for different β values，in which α = 1. 6，λ = 1，y = 0. 5 and ν = h = 1 · 5001 ·

·1006· 工程科学学报，第38卷，第7期 不同B时流场中心线处速度的演化.图8说明在亚扩 显增强，即出现速度过冲现象，且流场速度衰减程度越 散的情形，B的值越小，初始速度越大，流场速度衰减 强。图10和图11再一次说明速度过冲现象主要取决 程度越强.B的变化对流体的弹性性质几乎没有影 于动量方程时间分数阶参数a 响，流场中没有出现速度过冲现象.图9说明在超扩 4 散的情形，B的值越小，流体的弹性性质越强，出现明 结论 显的速度过冲现象，且流场速度衰减程度越强。图8 本文研究二阶流体在平板上的脉冲泊肃叶流动问 和图9说明速度过冲现象主要取决于动量方程时间分 题，并将分数阶微积分分别引入二阶流体的本构方程 数阶参数α.二阶流体本构方程中的分数阶参数B虽 与动量方程，更真实地反应实际流动.利用傅里叶正 然也影响流体的弹性性质，但不起决定性作用 弦变换和分数阶拉普拉斯变换，得到问题的解析解，并 1.0 进行数值模拟.结果表明速度过冲现象主要取决于动 0.9 -1=0.1 量方程时间分数阶参数α，虽然B和延迟时间入影响 0.8 -1=0.3 ◆元=0.5 流体的弹性性质，但不起决定性作用.当α>1时，流 0.7 体表现出弹性增大且速度波动的现象，即速度过冲现 0.6 象.当α=1.8时，由于流体的黏弹性质，流场出现了 0.5 0.4 轻微的回流现象.同时，由于压力梯度为狄拉克δ函 0.3 数，随着时间推移，流场的速度逐渐衰减，若想得到持 0.2 续的流动，需再次进行脉冲加压 0.1 0002040.60.81.0121.41.6182.0 参考文献 图10当a=0.8B=0.6、y=0.5和p=h=1时，A对流场中心 [1]Kilbas AA,Srivastava H M,Trujillo JJ.Theory and applications 线处速度的影响 of fractional differential equations.North Holl Math Stud,2006, Fig.10 Variation of velocity u(y,t)in the center line of the flow 204:1 field for different A values,in which a=0.8,B=0.6,y=0.5 and Mandelbrot BB.The Fractal Geometry of Nature.New York:W. v=h=1 H.Freeman and Company,1982 Sadeghy K,Sharifi M.Local similarity solution for the flow of a 0.35 "second-grade"viscoelastic fluid above a moving plate.Int I Non 0.30 -1=0.1 Linear Mech,2004,39(8):1265 -1=0.2 0.25 +-i-0.3 4]Xu M Y,Tan WC.Representation of the constitutive equation of 0.20 viscoelastic materials by the generalized fractional element net- works and its generalized solution.Sci China Ser G,2003,46 0.15 (2):145 0.10 5]Metzler R,Nonnenmacher T F.Fractional relaxation process and 0.05 fractional rheological models for the description of a class of vi- 0 coelastic materials.Int J Plast,2003,19(7):941 6]Jin H.Xu M Y.Analytical solutions of generalized second order -0.05002040.60.810121.41.61.82.0 fluid flow past an impulsively started plate.J Shandong Unin, 2003,38(2):10 图11当a=1.6B=0.6y=0.5和v=h=1时，A对流场中心 (金辉，徐明瑜.对广义二阶流体介质中平板的突然起动引起 线处速度的影响 的流动分析.山东大学学报（理学版），2003,38(2)：10) Fig.11 Variation of velocity u (y,t)in the center line of the flow 7]Tan W C,Xu M Y.Unsteady flows of a generalized second grade field for different A values,in which a=1.6,B=0.6,y=0.5 and fluid with the fractional derivative model between two parallel y=h=1 plates.Acta Mech Sin,2004,20(5)471 [8]Ulah S,Maqbool I.Some exact solutions to equations of motion of 图10和图11分别给出在亚扩散和超扩散情形 an incompressible second grade fluid.J Fluids Eng,2015,137 下，不同的延迟时间入流场中心线处速度的演化.图 (1):011205 10说明在亚扩散情形，入的值越小，初始速度越大，且 ⊙ Akinbobola TE,Okoya SS.The flow of second grade fluid over a stretching sheet with variable thermal conductivity and viscosity in 流场速度衰减程度越强.入的变化对流体的弹性性质 the presence of heat source/sink.J Nigerian Math Soc,2015,34 几乎没有影响，流场中没有出现速度过冲现象.图11 (3):331 说明在超扩散的情形，入的值越小，流体的弹性性质明 [10]Lin Y,Jiang W.Numerical method for Stokes'first problem for

工程科学学报，第 38 卷，第 7 期 不同 β 时流场中心线处速度的演化． 图 8 说明在亚扩 散的情形，β 的值越小，初始速度越大，流场速度衰减 程度越强． β 的变化对流体的弹性性质几乎没有影 响，流场中没有出现速度过冲现象． 图 9 说明在超扩 散的情形，β 的值越小，流体的弹性性质越强，出现明 显的速度过冲现象，且流场速度衰减程度越强． 图 8 和图 9 说明速度过冲现象主要取决于动量方程时间分 数阶参数 α． 二阶流体本构方程中的分数阶参数 β 虽 然也影响流体的弹性性质，但不起决定性作用． 图 10 当 α = 0. 8、β = 0. 6、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，λ 对流场中心 线处速度的影响 Fig． 10 Variation of velocity u( y，t) in the center line of the flow field for different λ values，in which α = 0. 8，β = 0. 6，y = 0. 5 and ν = h = 1 图 11 当 α = 1. 6、β = 0. 6、y = 0. 5 和 ν = h = 1 时，λ 对流场中心 线处速度的影响 Fig． 11 Variation of velocity u ( y，t) in the center line of the flow field for different λ values，in which α = 1. 6，β = 0. 6，y = 0. 5 and ν = h = 1 图 10 和图 11 分别给出在亚扩散和超扩散情形 下，不同的延迟时间 λ 流场中心线处速度的演化． 图 10 说明在亚扩散情形，λ 的值越小，初始速度越大，且 流场速度衰减程度越强． λ 的变化对流体的弹性性质 几乎没有影响，流场中没有出现速度过冲现象． 图 11 说明在超扩散的情形，λ 的值越小，流体的弹性性质明 显增强，即出现速度过冲现象，且流场速度衰减程度越 强． 图 10 和图 11 再一次说明速度过冲现象主要取决 于动量方程时间分数阶参数 α． 4 结论 本文研究二阶流体在平板上的脉冲泊肃叶流动问 题，并将分数阶微积分分别引入二阶流体的本构方程 与动量方程，更真实地反应实际流动． 利用傅里叶正 弦变换和分数阶拉普拉斯变换，得到问题的解析解，并 进行数值模拟． 结果表明速度过冲现象主要取决于动 量方程时间分数阶参数 α，虽然 β 和延迟时间 λ 影响 流体的弹性性质，但不起决定性作用． 当 α ＞ 1 时，流 体表现出弹性增大且速度波动的现象，即速度过冲现 象． 当 α = 1. 8 时，由于流体的黏弹性质，流场出现了 轻微的回流现象． 同时，由于压力梯度为狄拉克 δ 函 数，随着时间推移，流场的速度逐渐衰减，若想得到持 续的流动，需再次进行脉冲加压． 参 考 文 献 ［1］ Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J． Theory and applications of fractional differential equations． North Holl Math Stud，2006， 204: 1 ［2］ Mandelbrot B B． The Fractal Geometry of Nature． New York: W． H． Freeman and Company，1982 ［3］ Sadeghy K，Sharifi M． Local similarity solution for the flow of a “second-grade”viscoelastic fluid above a moving plate． Int J Non Linear Mech，2004，39( 8) : 1265 ［4］ Xu M Y，Tan W C． Ｒepresentation of the constitutive equation of viscoelastic materials by the generalized fractional element net￾works and its generalized solution． Sci China Ser G，2003，46 ( 2) : 145 ［5］ Metzler Ｒ，Nonnenmacher T F． Fractional relaxation process and fractional rheological models for the description of a class of vi￾coelastic materials． Int J Plast，2003，19( 7) : 941 ［6］ Jin H，Xu M Y． Analytical solutions of generalized second order fluid flow past an impulsively started plate． J Shandong Univ， 2003，38( 2) : 10 ( 金辉，徐明瑜． 对广义二阶流体介质中平板的突然起动引起 的流动分析． 山东大学学报( 理学版) ，2003，38( 2) : 10) ［7］ Tan W C，Xu M Y． Unsteady flows of a generalized second grade fluid with the fractional derivative model between two parallel plates． Acta Mech Sin，2004，20( 5) : 471 ［8］ Ullah S，Maqbool I． Some exact solutions to equations of motion of an incompressible second grade fluid． J Fluids Eng，2015，137 ( 1) : 011205 ［9］ Akinbobola T E，Okoya S S． The flow of second grade fluid over a stretching sheet with variable thermal conductivity and viscosity in the presence of heat source / sink． J Nigerian Math Soc，2015，34 ( 3) : 331 ［10］ Lin Y，Jiang W． Numerical method for Stokes’first problem for · 6001 ·

张艳等：广义二阶流体的脉冲泊肃叶流动分析 ·1007· a heated generalized second grade fluid with fractional derivative. Heat Mass Transfer,2015,81:28 Numer Methods Partial Differential Equations,2011,27(6): [18]El-Shahed M,Salem A.On the generalized Navier-Stokes equa- 1599 tions.Appl Math.Comput,2004,156(1):287 [11]Yu B.Jiang X Y,Qi H T.An inverse problem to estimate an [19]Momani S,Odibat Z.Analytical solution of a time-fractional unknown order of a Riemann-Liouville fractional derivative for a Navier-Stokes equation by Adomian decomposition method.Appl fractional Stokes'first problem for a heated generalized second Math Comput,2006,177(2):488 grade fluid.Acta Mech Sin,2015,31(2):153 120]Kumar S,Kumar D,Abbasbandy S,et al.Analytical solution of [12]Shen F,Tan W C,Zhao Y H,et al.The Rayleigh-Stokes prob- fractional Navier-Stokes equation by using modified Laplace de- lem for a heated generalized second grade fluid with fractional de- composition method.Ain Shams Eng J,2014,5(2):569 rivative model.Nonlinear Anal Real World Appl,2006,7(5):1072 21] Wang Y,Ou YJ,Yang B X.Analysis on fractional Oldroyd-B [13]Fernandez-Feria R,Alaminos-Quesada J.Purely pulsating flow viscoelastic Poiseuille flow by numerical inversion of Laplace of a viscoelastic fluid in a pipe revisited:the limit of large Wom- transforms.Acta Phys Sin,2010,59(10):6757 ersley number.J Non-Newton Fluid,2015,217:32 (王羽，欧阳洁，杨斌鑫.分数阶Oldroyd--B黏弹性Poiseuille [14]Wang Y,He Y L,Yang WW,et al.Numerical analysis of flow 流的Laplace数值反演分析.物理学报，2010,59(10)： resistance and heat transfer in a channel with delta winglets under 6757) laminar pulsating flow.Int Heat Mass Transfer,2015,82:51 2]Wei G S,Zhang X X,Yu F,et al.Thermal diffusivity measure- [15]Tubaldi E,Amabili M,Alijani F.Nonlinear vibrations of plates ments on insulation materials with the laser flash method.Int I in axial pulsating flow.J Fluids Struct,2015,56:33 Thermophys,2006,27(1):235 [16]Embaye M,AL-Dadah R K,Mahmoud S.Thermal performance [3]Zheng L C,Liu Y Q,Zhang XX.Slip effects on MHD flow of a of hydronic radiator with flow pulsation:numerical investigation. generalized Oldroyd-B fluid with fractional derivative.Nonlinear Appl Therm Eng,2015,80:109 Anal Real World Appl,2014,13(2):513 [17]Li S D,Tan S C,Yuan H S.Theoretical study on temperature 24]Podlubny I.Fractional Differential Equations.New York:Aca- oscillation of a parallel-plate in pulsating flow condition.Int demic Press,1999

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