定理10.4.1设f(x)在O(x0,r)上任意阶可导,则 f(x)=∑ (x-x)+r(x), xEO(xo, r) k 其中 ∫fm=1(Xx-o)ydr 证由表达式(x)=f(x)-∑x(x-x)出发,逐次对等式 两端进行求导运算,可依次得到 (k) 2(x)=f(x) X-x 石(k-1) X-x k=2 (k-2)! (x)=f((x)-f((x0),证 由表达式 r (x) n = f (x) = − − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) 出发，逐次对等式 两端进行求导运算，可依次得到 r (x) n  = f (x) − = − − − n k k k x x k f x 1 1 0 0 ( ) ( ) ( 1)! ( ) ， r (x) n  = f (x) − = − − − n k k k x x k f x 2 2 0 0 ( ) ( ) ( 2)! ( ) ， …… ( ) ( ) r x n n = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) f x f x n n − ， ( ) ( 1) r x n n + = ( ) ( 1) f x n+ 。 定理 10.4.1 设 f (x)在 O( 0 x , r)上任意阶可导，则 f (x) = = − n k k k x x k f x 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) + r (x) n ， xO( 0 x , r)， 其中 r (x) n = ! 1 n  − + x x n n f t x t t 0 ( )( ) d ( 1)