第2期 王士同，等：模糊推理的统计敏感性分析 *63* (只o月.…（只wo 这些工作还包括对模糊方程、甚至模糊联想神经网 络的统计敏感性分析. (34) 在基于规则独立的推理过程中，可先独立地对 参考文献： 每个规则求出相应的输出，然后组合所有这些单个 [1]TORRA V.OWA operators in data modeling and rei- 输出，每个独立的输出可表示如下： dentification [J].IEEE Trans on Fuzzy Systems,2004, ,)=吧1，%)， 12(5):652-660. en(xa},Hg,(x1,x,…xa,以)，(i=1,2,0. [2]CAI K C.Robustness of fuzzy reasoning and equalities 式中：R定义与式26)相同，这样整个输出D可用 of fuzzy sets[J ]IEEE Trans on Fuzzy Systems,2001,9 并或交)算子广义地表示，即 (5):738-750. [3]YIN G M S.Perturbation of Fuzzy reasoning [J ]IEEE 当D=UD,时，则o(y=max(o(y, Trans on Fuzzy Systems,1999,7(5):625-629. 4o,(y以，Hbw以 (35) [4]ZADEH L A.The concept of a linguistic variable and its 当D=,QD,时，则，仞=minW, applications to approximate reasoning (I)[J].Informa- tion Science,1974,8(2):199-249 b2(以，4ow(以 (36) [5]ZADEH L A.The concept of a linguistic variable and its 使用与前面相似的方面，也可以轻易地分析出这类 applications to approximate reasoning (I)[J].Informa- 基于规则的模糊推理过程的统计敏感性.若采用与 tion Science,1974,8(3):301.357 前面相同的符号定义，则由引理34可得 [6]ZADEH L A.The concept of a linguistic variable and its applications to approximate reasoning (III)[J ]Infor- mation Science,1975,9(1):43-80. [7]DUBOIS D,PRADE H.Fuzzy sets in approximate rea- D'-maC只o(, ⊙月，… soning,Part 1:Inference with possibility distributions (37) []Fuzzy Sets and Systems,1991,40(1):143-202. [8]DUBOIS D,PRADE H.Fuzzy sets in approximate rea- 式37)结论当且仅当在模糊推理输出由式(35)、 soning,Part 2:Logical approaches [J].Fuzzy Sets and (36)决定时成立 Systems,1991,40(1):203.244. 6结束语 [9]LIU Y,KERRE F E.An overview of fuzzy quantifiers ID:reasoning and applications [J ]Fuzzy Sets and 文中提出了一种新的度量模糊集间近似相等的 Systems,1998,95(2):135.146. 方式统计相等，并以此为基础，理论与系统地 [10]NAKANISHI H,TURKSEN IB,SU GENO M.A re- 分析了多种模糊推理在不同的算子与模糊规则下的 view and comparison of six reasoning methods [J ] 统计敏感性.从分析结果中可以看出，对于许多模糊 Fuzzy Sets and Systems,1993,57(3):257-294. 推理来讲，其前件中的噪音干扰将导致在后件中产 [11]WANG GJ.On the logic foundation of fuzzy reasoning 生更大的扰动，其统计敏感性可通过它们的方差关 [J ]Information Science,1999,117(1):47-88. 系清晰地表现出来 [12 ]MIZUMOTO M,ZIMMERMANN HJ.Comparison of fuzzy reasoning methods [J].Fuzzy Sets and Systems, 理论上，在合成运算、蕴涵运算、广义肯定前件 1982,8(3):151-186. 式、广义否定后件式和链接模糊推理中，max和min [13]CAO Z,KANDEL A.Applicability of some fuzzy im- 算子可用任何的s模算子和任何的+模算子替代， plication operators [J ]Fuzzy Sets and Systems,1989, 而文中仅分析了这些模糊推理中使用几种（文中所 31(2):151-186. 列)特定算子时的情况，对于采用其他s1模算子的 [14 WANG L X.A course in fuzzy systems and control 情况，虽然在实际中经常使用到，但其相应的统计敏 [M].Englewood Cliffs,NJ Prentice-Hall,1997. 感性分析较为复杂，这有待以后进行更深入的探讨， [15]CAI KY,equalities of fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net©1 ≤j ≤n ε2 j ©β2 , ……, ©1 ≤j ≤n εMj ©βM D . (34) 在基于规则独立的推理过程中 ,可先独立地对 每个规则求出相应的输出 ,然后组合所有这些单个 输出 ,每个独立的输出可表示如下 : μDi ( y) = sup x 1 , x 2 , …, x n t (μC1 ( x1 ) ,μC2 ( x2 ) , …, μCn ( x n ) ,μRi ( x1 , x2 , …, x n , y) ) , ( i = 1 ,2 , …, M) . 式中 : Ri 定义与式(26) 相同 ,这样整个输出 D 可用 并(或交) 算子广义地表示 ,即 当 D = ∪ M i = 1 Di 时 ,则μD ( y) = max (μD1 ( y) , μD2 ( y) , …,μDM ( y) . (35) 当 D = ∩ M i = 1 Di 时 ,则μD ( y) = min (μD1 ( y) , μD2 ( y) , …,μDM ( y) . (36) 使用与前面相似的方面 ,也可以轻易地分析出这类 基于规则的模糊推理过程的统计敏感性. 若采用与 前面相同的符号定义 ,则由引理 3、4 可得 R′i = ©1 ≤j ≤n εij ©βi R i , D′i = ©1 ≤j ≤n γj © ©1 ≤j ≤n εij ©βi D i , D′= max ©1 ≤j ≤n γj © ©1 ≤j ≤n εij ©β1 , …, ©1 ≤j ≤n γj © ©1 ≤j ≤n εMj ©βM D . (37) 式(37) 结论当且仅当在模糊推理输出由式 ( 35) 、 (36) 决定时成立. 6 结束语 文中提出了一种新的度量模糊集间近似相等的 方式 ———ε统计相等 ,并以此为基础 ,理论与系统地 分析了多种模糊推理在不同的算子与模糊规则下的 统计敏感性. 从分析结果中可以看出 ,对于许多模糊 推理来讲 ,其前件中的噪音干扰将导致在后件中产 生更大的扰动 ,其统计敏感性可通过它们的方差关 系清晰地表现出来. 理论上 ,在合成运算、蕴涵运算、广义肯定前件 式、广义否定后件式和链接模糊推理中 ,max 和 min 算子可用任何的 s2模算子和任何的 t2模算子替代 , 而文中仅分析了这些模糊推理中使用几种 (文中所 列) 特定算子时的情况 ,对于采用其他 s/ t 模算子的 情况 ,虽然在实际中经常使用到 ,但其相应的统计敏 感性分析较为复杂 ,这有待以后进行更深入的探讨 , 这些工作还包括对模糊方程、甚至模糊联想神经网 络的统计敏感性分析. 参考文献 : [1 ] TORRA V. OWA operators in data modeling and re2i2 dentification [J ]. IEEE Trans on Fuzzy Systems , 2004 , 12 (5) : 652 - 660. [2 ]CAI K C. Robustness of fuzzy reasoning andδ2equalities of fuzzy sets[J ]. IEEE Trans on Fuzzy Systems , 2001 , 9 (5) : 738 - 750. [3 ] YIN G M S. Perturbation of Fuzzy reasoning [J ]. IEEE Trans on Fuzzy Systems , 1999 , 7 (5) : 625 - 629. [4 ]ZADEH L A. The concept of a linguistic variable and its applications to approximate reasoning ( I) [J ]. Informa2 tion Science , 1974 , 8 (2) : 199 - 249. [5 ]ZADEH L A. The concept of a linguistic variable and its applications to approximate reasoning (II) [J ]. Informa2 tion Science , 1974 , 8 (3) : 301 - 357. [6 ]ZADEH L A. The concept of a linguistic variable and its applications to approximate reasoning ( III) [J ]. Infor2 mation Science , 1975 , 9 (1) : 43 - 80. [7 ]DUBOIS D , PRADE H. Fuzzy sets in approximate rea2 soning , Part 1 : Inference with possibility distributions [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1991 , 40 (1) : 143 - 202. [8 ]DUBOIS D , PRADE H. Fuzzy sets in approximate rea2 soning , Part 2 :Logical approaches [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1991 , 40 (1) : 203 - 244. [9 ]L IU Y, KERRE F E. An overview of fuzzy quantifiers ( Ⅱ) : reasoning and applications [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1998 , 95 (2) : 135 - 146. [10 ]NA KANISHI H , TUR KSEN I B , SU GENO M. A re2 view and comparison of six reasoning methods [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1993 , 57 (3) : 257 - 294. [11 ]WAN G GJ. On the logic foundation of fuzzy reasoning [J ]. Information Science , 1999 , 117 (1) : 47 - 88. [ 12 ]MIZUMO TO M , ZIMMERMANN H J. Comparison of fuzzy reasoning methods [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1982 , 8 (3) : 151 - 186. [13 ]CAO Z , KANDEL A. Applicability of some fuzzy im2 plication operators [J ]. Fuzzy Sets and Systems , 1989 , 31 (2) : 151 - 186. [14 ] WAN G L X. A course in fuzzy systems and control [ M]. Englewood Cliffs , NJ : Prentice2Hall , 1997. [15 ]CAI KY ,δ2equalities of fuzzy sets [J ]. Fuzzy Sets and 第 2 期 王士同 ,等 :模糊推理的统计敏感性分析 · 36 ·