临沂师范眈品祖氩骨析髁外训旅方囊 15.设∫(x),g(x)在[a,b连续,求证 ≤.∫2(x) g 而且等号成立当且仅当g(x)=Af(x)(或∫(x)=g(x),其中λ为常数 16.设f(x),g(x)在[a,b]连续,求证 ∫0(x)+gh5r(+.g(, 而且等号成立当且仅当g(x)=Af(x)(≥0常数) 17.设∫(x)在[O,+∞)连续且单调递增,求证:函数 F(x)=-f(dr 在(0,+∞)上连续且单调递增。 18.利用分部积分法证明: 设∫"(x)在[a,b]连续,且f(a)=f(b)=0,求证: (1)/(xs1 f"(x(x-a(x-b)dx f"(x) 20.设∫(x)在x>0时连续,对任意a,b>0,积分值 f(xdx 与a无关,求证:f(x)=c(c为常数) 21.设f(x)在任一有限区间上可积分,且 lim/(dt=临沂师范学院精品课程 数学分析 课外训练方案 15．设 f x( ), g(x) 在[ , a b]连续，求证： 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx ≤ f x dx g x dx ∫ ∫ ∫ ￾ ， 而且等号成立当且仅当 g x( ) = λ f (x) (或 f x( ) = λg(x) )，其中λ 为常数。 16. 设 f x( ), g(x) 在[ , a b]连续，求证： 2 2 2 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b a a b a f x g + ≤ x dx f x dx + g x dx ∫ ∫ ∫ ， 而且等号成立当且仅当 g x( ) = λ f (x) (λ ≥ 0 常数). 17. 设 f x( ) 在[0, + ∞) 连续且单调递增，求证：函数 0 1 ( ) ( ) x F x f t dt x = ∫ 在(0, + ∞) 上连续且单调递增。 18. 利用分部积分法证明： 0 0 0 ( )( ) ( ) x x u f u x − = u du f t dtdu ∫ ∫ ∫ 19. 设 f ''(x)在[ , a b]连续，且 f a( ) = f (b) = 0，求证： (1) 1 ( ) ''( )( )( ) 2 b b a a f x dx = f x x − a x − b dx ∫ ∫ ； (2) 3 ( ) ( ) max ''( ) 12 b a a x b b a f x dx f x ≤ ≤ − ≤ ∫ ； 20. 设 f x( ) 在 x > 0 时连续，对任意 a b, > 0 ，积分值 ( ) ab a f x dx ∫ 与 a 无关，求证： ( ) c f x x = （c 为常数）. 21. 设 f x( ) 在任一有限区间上可积分，且 lim ( ) x f x l →∞ = 求证： 0 1 lim ( ) x x f t dt l →∞ x = ∫ - 6 -