+na=ka+la 8)k(a+B)=ka+kB 在以上规则中,k,l等表示数域P中任意数;a,B,y等表示集合中任意元素 例3数域P上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法,构成一个数域P上的线性空间如果只考虑其中次数小于n的多项式,再添 上零多项式也构成数域P上的一个线性空间,用Px]n表示 例4元素属于数域P的m×n矩阵,按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法, 构成数域P上的一个线性空间,用Pmm表示 例5全体实函数,按函数加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上 的线性空间 例6数域P按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间 例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间 1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法 ∈R,a∈p 2)R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式 的乘法 例8设V是正实数集,R为实数域.规定 a⊕B=aB(即a与B的积), (即a的a次幂), 其中a,B∈V,a∈R.则V对于加法⊕和数乘⊙作成R上的线性空间 二线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母a,B,y,…代 表线性空间V中的元素,用小写拉丁字母a,b,c,…代表数域P中的数7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； ,  , 等表示集合 V 中任意元素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P[x] ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添 上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 n P[x] 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P  表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法: a = 0,a  R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与多项式 的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定    =  (即  与  的积), a ⊙  = a  (即  的 a 次幂), 其中 ,  V,a  R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 ,  , ,  代 表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c,  代表数域 P 中的数