第四章重积分 反之亦然 保号(序)性若f(x,y)=R(D)g(x,y)R(D),且 f(x,y)≥g(x,y),V(x,y)∈D,则 /(xy)do2」』(xyo 特别地,若f(xy)O,(xy)ED,则J/(xy)d20 若f(x,y)∈R(D),g(x,y)∈R(D),则 y)g{x,y)∈R(D) 若f(xy)R(D),g(x,y)∈R(D),则f(xy)k=R(D),且 ∫f(xy)dosf(xy)a 佔值定理若m≤f(x,y)≤M,V(x,y)=D,且f(x,y)∈R(D),则 maC(xy)do≤M 其中,σ表示积分域D的面积 积分中值定理设f(x,y)eC(D),g(x,y)∈R(D),且g(x,y)在D 上不变号,则存在一点(,)∈D,使得 f/cx,v)g(x, y)do=f(5. n g(x,y)do 特别地,当g(x,y)≡1时,有 f(x,y)do=f(2,7) 其中,σ为积分域D的面积 例2估计积分j42m值所在的范围,其中 D=xy)2+y2小 解首先求被积函数f(x,y)4-r2-y2在D上的最大、最小值 af(x,y) 由于方程组a=0 a/(xy)在D内无解,因此(.x)L在D上的最 值一定在其边界aD=x,y)x2 上取到 为此解下列条件极值问题 ∫Mm(xy)Maxf(xy) 令L(,x,y)=f(x,y)-A(x2+y2-1),解方程组 第一章重积分概念与性质第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 反之亦然. ⚫ 保号(序)性 若 f (x,y)R(D),g(x,y)R(D) ,且 f (x,y)g(x,y),(x,y)D ，则    D D f (x,y)d g(x,y)d 特别地，若 f (x,y)0,(x,y)D ，则 ( , ) 0  D f x y d . ⚫ 若 f (x,y)R(D) ， g(x, y)  R(D) , 则 f (x, y) g(x, y)R(D) . ⚫ 若 f (x,y)R(D) ， g(x, y)  R(D) , 则 f (x,y)R(D) ，且    D D f (x,y)d f (x,y) d ⚫ 估值定理 若 m f (x,y)M , (x,y)D ，且 f (x,y)R(D) ，则 m f x y d M D    ( , ) 其中，  表示积分域 D 的面积. ⚫ 积分中值定理 设 f (x,y)C(D) ，g(x,y)R(D) ，且 g(x,y) 在 D 上不变号，则存在一点 (,)D ，使得   = D D f (x,y)g(x,y)d f (,) g(x,y)d 特别地，当 g(x, y)  1 时，有 f (x,y)d f (,) D =  其中，  为积分域 D 的面积. 例 2 估 计 积 分  − − − D d x y x y  2 2 4 值所在的范围，其中 ( , ) 1 2 2 D= x y x +y  . 解 首先求被积函数 2 2 4 ( , ) x y x y f x y − − − = 在 D 上的最大、最小值. 由于方程组       =   =   0 ( , ) 0 ( , ) y f x y x f x y 在 D 内无解，因此 ) y, x( f 在 D 上的最 值一定在其边界 ( , ) 1 2 2 D= x y x +y = 上取到. 为此解下列条件极值问题：    . . + = 1 ( , ) 2 2 st x y Min f x y ,    . . + = 1 ( , ) 2 2 st x y Max f x y 令 ( , , ) ( , ) ( 1) 2 2 L  x y = f x y −  x + y − ，解方程组