第四章重积分 4-1-3重积分性质 从重积分的定义可以看出,重积分与定积分本质上是一致的,都 是反映函数整体性质的一个量,且定义方式也是一样的.因此定积分的 所有性质都可以平移到重积分上来,以下仅对二重积分列出其有关性质 至于三重分则完全雷同,其性质请自行给出 设∫:DcR2→R,D是有界闭区域 重积分的存在性 定理(可积的必要条件)若(x)飞在有界闭域D上可积,则 f(x,y)在D上有界 定理(可积的充分必要条件)设∫:DcR2→R,D是有界闭区 域,二则二重积分存在的充要条件是: 对于D的任意划分T=④△G1,i=1…;n},极限 ∑oG,TAσ 其中 oG,)=Sp{/(P)-f)P。∈△o} 为函数∫(x,y)在子域△a上的振幅 可积函数类I:在有界闭域D上连续的函数(:x)飞在D上可 积 可积函数类II:在有界闭域D上分块连续的函数(x)飞在D 上可积,即:(x)飞在有界闭域D上有界,在其内部D上连续, D,的边界是有限段逐段光滑的曲线 二重积分几何意义,∫f(x,y)d其值为,曲面z=f(x,y)在区域 D上,曲顶柱体体积代数之和。 此定理的证明分定积分可积性的研究类似,此处了作赘述。 例1求∫a-x2-ydo,其中D=(xy)x2+y22ao 解因为 x2-y2,(x,y)D的图形是球心在原点,半径为 的上半球面,所以,由二重积分的几何意义可知 ∫ya-x2-y2do表示的是半径为a的半球的体积,因此 ∫ya-x2 y do =a 运算的线性性若f(x,y)∈R(D),g(x,y)∈R(D),则va,Be∈R, of (x,y)+Bg(x,yER(D),H fla(x,y)+Ag(x, )do=a[/(x, y)do+B[g(x, do 1.对积分域的可加性,设D=D∪UD2,且D1与D2无公共内点,若 f(xy)∈R(D),则∫(x,y∈R(D1),f(x,y)ER(D2),且 f(x,y)do=lIf(x,y)do+/(x,y)do 第一章重积分概念与性质第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 4-1-3 重积分性质 从重积分的定义可以看出，重积分与定积分本质上是一致的，都 是反映函数整体性质的一个量，且定义方式也是一样的.因此定积分的 所有性质都可以平移到重积分上来，以下仅对二重积分列出其有关性质. 至于三重分则完全雷同, 其性质请自行给出. 设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区域. ⚫ 重积分的存在性： 定理 (可积的必要条件） 若 ) y, x( f 在有界闭域 D 上可积，则 f (x, y) 在 D 上有界. 定理 (可积的充分必要条件）设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区 域，二则二重积分存在的充要条件是： 对于 D 的任意划分 T = 1 ,i =1,  ,n ，极限 lim ( , ) 0 1 ( ) 0  = = → n i i i T  f T   , 其中 i ( f ,T ) = Sup f (P)− f (Q) P,Q   i 为函数 f (x, y) 在子域  i 上的振幅。 可积函数类 I: 在有界闭域 D 上连续的函数 ) y, x( f 在 D 上可 积. 可积函数类 II: 在有界闭域 D 上分块连续的函数 ) y, x( f 在 D 上可积, 即： ) y, x( f 在有界闭域 Di 上有界，在其内部 0 Di 上连续， Di 的边界是有限段逐段光滑的曲线. ⚫ 二重积分几何意义,  D f (x, y)d 其值为, 曲面 z = f (x, y) 在区域 D 上, 曲顶柱体体积代数之和。 此定理的证明分定积分可积性的研究类似，此处了作赘述。 例 1 求  − − D a x y d 2 2 2 ，其中 ( , ) , 0 2 2 2 D= x y x +y a a . 解 因为 z= a −x −y , (x,y)D 2 2 2 的图形是球心在原点，半径为 a 的上半球面，所以，由二重积分的几何意义可知  − − D a x y d 2 2 2 表示的是半径为 a 的半球的体积，因此  − − D a x y d 2 2 2 3 3 2 = a ⚫ 运算的线性性 若 f (x,y)R(D),g(x,y)R(D) ，则 ,R ，有 f (x,y)+g(x,y)R(D) ，且    + = + D D D [f (x,y) g(x,)]d  f (x,y)d  g(x,)d 1. 对积分域的可加性, 设 D=D1D2 ，且 D1 与 D2 无公共内点，若 f (x,y)R(D) ，则 ( , ) ( ), ( , ) ( ) 1 R D2 f x y R D f x y  ，且    = + 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) D D D f x y d f x y d f x y d