第四章重积分 T={G,i=1…;n},及任意取点P(5,n)∈△o,(=1,…n),积 分和式∑f(5,7)△G的极限 im∑f(5,n)△a 存在,则称f(x,y)在D上(黎曼Rmam)可积,记f(x,y)∈R(D) 此极限称为f(x,y)在D上的二重积分,记作 f(x,y)d=,加m∑f(5,)A0 是二重积分号,D是积分域,∫(x,y)是被积函数,do为面积元 若用“E-δ”语言,可以用如下的形式描述二重积分的定义: 定义1设∫:DcR2→R,D是有界闭区域,如果有常数A, E>0,3δ>0,对于D的任意划分T={Aa1i=1…n 及任意取点P(1n)∈△G,(i=1…,n),只要A(T)<δ,就有 ∑f(5,n)0 <E成立, 称()在D上可积,其中的为f(x,y)在D上的二重积分 这样:曲顶柱体的体积V就是(x)飞在D上的二重积分值,即 V=f(r, y)do 类似地,面密度为p(x,y)的平面薄板D的质量M是 M=‖|m(x,y)do 类似地可以给出,三重积分的定义 定义2设∫:cR3→R,Ω是有界闭区域,若对于Ω的任 意划分T={△n,i=1…,n},及任意取点P(,n,5)∈△1 (=1…n),积分和式∑f(5,n,51)△的极限 f(i, n, s Av 存在,则称∫(x,y,z)在9上(黎曼Rmm)可积,记f∈R(g2), 此极限称为∫在Ω上的三重积分,记作 盯(xyMh=m∑(5,n,5;)△ 是三重积分号,Ω是积分域,∫(x,y)是被积函数,do为面积元 其中:∫是三重积分号,Ω是积分域,f(x,y,=)是被积函数, dhv是体积元 这里的a(T)是9的划分T={△加1的直径;△又表子区域的 体积. 第一章重积分概念与性质第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 T = 1 ,i =1,  ,n ，及任意取点 Pi  i i  i ( , ) (i = 1,  , n) ，积 分和式   = n i i i i f 1 ( , )  的极限   → = n i i i i T f 1 ( ) 0 lim ( , )   存在，则称 f (x, y) 在 D 上(黎曼 Riemann )可积，记 f (x, y)  R(D) , 此极限称为 f (x, y) 在 D 上的二重积分，记作  D f (x, y)d =   → = n i i i i T f 1 ( ) 0 lim ( , )   ;  是二重积分号, D 是积分域， f (x, y) 是被积函数， d 为面积元. 若用“  − ”语言，可以用如下的形式描述二重积分的定义： 定义 1’ 设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区域，如果有常数 A ,    0 ，   0 , 对于 D 的任意划分 T = 1 ,i =1,  ,n， 及任意取点 Pi  i i  i ( , ) (i = 1,  , n)， 只要 (T)   ，就有     −   = f A n i i i i 1 ( , ) 成立， 则称 ) y, x( f 在 D 上可积，其中的为 f (x, y) 在 D 上的二重积分. 这样：曲顶柱体的体积 V 就是 ) y, x( f 在 D 上的二重积分值，即 =  D V f (x, y)d 类似地，面密度为 (x, y) 的平面薄板 D 的质量 M 是  = D M (x, y)d . 类似地可以给出，三重积分的定义. 定义 2 设 f   R → R 3 : ,  是有界闭区域，若对于  的任 意划分 T = v1 ,i =1,  ,n,及任意取点 i i i i i P ( , , )v (i = 1,  , n)， 积分和式 =  n i i i i i f v 1 ( , , ) 的极限 = →  n i i i i i T f v 1 ( ) 0 lim ( , , )  存在，则称 f (x, y,z) 在  上(黎曼 Riemann )可积，记 f  R() , 此极限称为 f 在  上的三重积分，记作   f (x, y,z)dv = → =  n i i i i i T f v 1 ( ) 0 lim ( , , )  ;  是三重积分号,  是积分域，f (x, y) 是被积函数，d 为面积元. 其中:  是三重积分号， 是积分域， f (x, y,z) 是被积函数， dv 是体积元. 这里的 (T ) 是  的划分   n i i T v =1 = 的直径; i v 又表子区域的 体积