第四章重积分 =Adcl4o|=N1:Qe△ar} 例二非均匀分布的质量计算 设有一块薄板,薄板上有质量分布不均匀的物质.那么如何求薄板 的质量M? 用D表示薄板占据的平面有界区域,并且用 p=p(x,y)(x,y)∈D) 表示区域D(即薄板上)中的点(x,y)处的密度 首先,分小取近似:即: 将区域D分割成小块:△12△O2AGn(也表每小块面积); 相应地薄板质量M也被分成了n个小块薄板△M,i=1,…,n,(也 表每小块薄板之质量),显然可得近似值: △≈f(P)△a 其中,P(;,)∈△G;(1≤i≤n) 接着,求和取极限:即: 因此得到薄板质量M的一个近似值 M=∑M=∑P(P)△a 可以认为,其极限值 M=m∑(P)A0 以上两个问题的具体意义不同,但是解决问题的思想方法确是相同 的如果我们忽略问题的具体的几何意义与物理意义,只注意解决问题 过程中的数学思想,就得到二元函数在有界区域上的积分概念 4-1-2重积分定义 在一元函数微积分学中 黎曼积分f(x)x是作为一种和式的极限而定义的 现在在二元函数中先于以推厂 设:z=f(xy),P(xy)∈D 为了叙述方便,先引进几个名词 划分:将一个平面或空间的区域D分成n份△1,i=1…,n,使 得:D=∩△o,;且≠,(△a)a,)= 称△a1,i=1…n是D的一个划分,记为:T={a1,=1…n} △G,称为D的一个子域: 集合的直径,设S是一点集 d(△)=S{PPQ∈△称为集合△σ的直径 划分的直径 λ=Max{4(△a)称为划分T={a1,i=1…n}的直径 定义1设∫:DcR2→R,D是有界闭区域,若对于D的任意划分 第一章重积分概念与性质第四章 重积分 第一章 重积分概念与性质 i i n  = Max  1  ,  i = MaxPQ P,Q i 例二 非均匀分布的质量计算 设有一块薄板, 薄板上有质量分布不均匀的物质.那么如何求薄板 的质量 M ? 用 D 表示薄板占据的平面有界区域, 并且用  = (x, y) ((x, y)  D) 表示区域 D (即薄板上)中的点 (x, y) 处的密度. 首先，分小取近似：即： 将区域 D 分割成小块： n  , ,  , 1 2 (也表每小块面积)； 相应地薄板质量 M 也被分成了 n 个小块薄板 Mi ,i =1,  ,n ，(也 表每小块薄板之质量), 显然可得近似值： i Pi i V  f ( ) 其中, P ( , ) (1 i n) i  i i   i   . 接着，求和取极限：即： 因此得到薄板质量 M 的一个近似值   = = =    n i i i n i M M P 1 1  ( )  , 可以认为，其极限值 = → =  n i M Pi i 1 0 lim ( )   以上两个问题的具体意义不同,但是解决问题的思想方法确是相同 的.如果我们忽略问题的具体的几何意义与物理意义,只注意解决问题 过程中的数学思想,就得到二元函数在有界区域上的积分概念. 4-1-2 重积分定义 在一元函数微积分学中， 黎曼积分  b a f (x)dx 是作为一种和式的极限而定义的. 现在在二元函数中先于以推广： 设: z = f (x, y), P(x, y)D 为了叙述方便，先引进几个名词. ⚫ 划分: 将一个平面或空间的区域 D 分成 n 份 1 ,i =1,  ,n ，使 得：  n i D i =1 =  ; 且   ( ) ( ) =  0 0 , i j i j , 称 1 ,i =1,  ,n 是 D 的一个划分, 记为： T = 1 ,i =1,  ,n,  i 称为 D 的一个子域； ⚫ 集合的直径 , 设 S 是一点集 d( ) = SupPQ P,Q 称为集合  的直径 ⚫ 划分的直径  ( ) 1 i i n  = Max d    称为划分 T = 1 ,i =1,  ,n 的直径. 定义 1 设 f D  R → R 2 : , D 是有界闭区域，若对于 D 的任意划分