78 管理科学 2007年6月 的随机变量x(以下称为超额数，x的个数称为超额 以下部分将使用(10)式进行估计。需要指出，以上 数数量)序列逐渐收敛于一个强度为入（入>0）的泊 超额均值函数是定义在形状参数专小于1的条件下。 松过程5,1。这样泊松极限近似可以帮助我们处理超 对于专大于1的情况，可以使用中值超额函数，具体 额值y。(即x-u)的发生频率，相关研究参见文献 的讨论参见文献[4]。中值超额函数定义为 [7,8]。 (12) 可以进行如下的假设：超过阈值“的超额数x发 med()=[Fr.(分J 生时间服从强度为A(A>0)的泊松过程，参数A度 综上，T时期内超过某特定阈值的超额损失 量在囡值“处单位时间内超额数x的发生强度：相应 (EL)资本和操作风险经济资本分别为 的各超额值y.相互独立，并服从GPD分布：y。与超额 数数量N。相互独立。后面两个假设是常见的，并且 ca=A7月9 (13) 对于本研究的内部欺诈问题是合理的。关于尾部服 CARs=&+A,TB+丝 1- (14) 从GPD的问题可以使用经验数据进一步检验。 一觳的，在损失数据平稳的情况下，令入。为超过 阀值“的频率，从尾部估计中可得 3POT横型参数的贝叶斯MCMC估计 从以上分析可知，参数的确定对于POT和经济 A,=1-P1X≤u=(1+专“-)t (7) r 资本的估计至关重要，通常的POT参数估计方法有 需要指出，如果有证据表明损失是时间相依的， 极大似然法、矩估计和概率加权矩方法。已有的研 模型将是一个非齐次泊松过程，如强度系数随时间 究证明极大似然法在大样本条件下比其他方法（如 而改变，即入=入()。对此类相依数据仍然可以处理， 概率加权矩方法)更加有效2：矩估计和概率加权 保持模型稳健性的惟一假定是超额值近似服从GPD 矩方法容易计算，但仅在<0.5时适用，因为GPD分 分布。有关的研究如Chavez-Demoulin等使用平滑技 布的方差仅在此时存在。同样，极大似然法估计仅在 术对模型中的趋势整合)，Femo等使用了对数据聚 专≥-1时适用。事实上，给定(x,x,…,x,)为观测 集去除(declustering)的方法oT。 值，(1m,2,…,)为按升序排列值。若专<-1，则 2.2损失强度和经济资本估计 对数似然函数为 对于损失强度，若给定的置信水平a>F(u),相 应的VaR值可得 h,Be)=-g+(合-)2n1-合(15) aR.=F'(1-a) 其中，k=-。(15)式随着是接近x…趋近于无穷。 =u+2)4- (8) 对于内部欺诈事件而言，低频率高损失是其本 质的特点，大量的样本往往难以获得。在确定阈值 本研究将采用期望短缺(expected shortfall,ES)作 后，当超额数数量较少时（如少于30个），使用极大 为期望损失强度的衡量，作为一致性风险度量指标 似然法估计将很不可靠。此外，在尾部推断中，对估 ES在本研究方法中具有优势。由于满足次可加性， 计的范围进行评价是很重要的，需要给出置信区间。 在整合不同类别的操作凤险损失的过程中，ES更便 针对内部欺诈数据稀少损失强度大的特点，本研究 于考量银行整体的操作风险经济资本。另外，对于典 将采用一种有效的方法，即贝叶斯模拟。Medova用 型的低颜率高损失事件（如内部欺诈）需要进一步 此类方法对由俄罗斯金融危机引发的金融机构交易 考虑损失特征的因素。正如下文所述，内部欺诈的损 损失进行了估计。本研究表明，使用贝叶斯估计 失样本具有右偏的、尖峰厚尾的分布（这符合内部欺 的POT模型参数比较稳定，支持尾部近似GPD的假 诈风险的特点)，为了评估损失的总体状况，S比作 设。另外，该方法能提供比极大似然法更多的信息， 为分位数的VaR能提供更全面的信息。于是对于特 如参数的核密度估计及其置信区间。 定的损失水平L潜在损失规模为 限于本文研究的问题，这里只对有代表性的厚 ES(L)=L +E(X -LI X L) 尾损失分布（即>0，下一部分中本研究的数据是厚 L+MEF(L) (9) 尾的)进行讨论，对于ξ<0的情况仍可用类似方法 其中，MEF为超额均值函数。(9)式用参数为专，B的 处理此时有B>0,设？=日则 GPD模型可表示为1 ⑧.=L+B+丝 GPD(xl5,r）=1-(1+6r)言 1- x>0 (16) L=u (10) 设T专相互独立，并有以下先验分布，即 成‘成 专-Pareto I(a,c） >0,e>0 T -Gamma(a,b)a >0,b >0 (17) L VaR>u (11) 其中，a,c为帕累托分布的参数，a、b为伽马分布参 万方数据78 管理科学 2007年6月 的随机变量戈(以下称为超额数，戈的个数称为超额 数数量)序列逐渐收敛于一个强度为A(A>0)的泊 松过程∞’61。这样泊松极限近似可以帮助我们处理超 额值y。(即x—u)的发生频率，相关研究参见文献 [7，8]。 可以进行如下的假设：超过阈值u的超额数z发 生时间服从强度为A(A>o)的泊松过程，参数A度 量在阈值M处单位时间内超额数并的发生强度；相应 的各超额值y。相互独立，并服从GPD分布；y。与超额 数数量，v。相互独立。后面两个假设是常见的，并且 对于本研究的内部欺诈问题是合理的。关于尾部服 从GPD的问题可以使用经验数据进一步检验。 一般的，在损失数据平稳的情况下，令A。为超过 阈值u的频率，从尾部估计中可得 A。=1一P{x≤“}=(1+亭堡二世)一古 (7) (J 需要指出，如果有证据表明损失是时间相依的， 模型将是一个非齐次泊松过程，如强度系数随时间 而改变，即A=A(￡)。对此类相依数据仍然可以处理， 保持模型稳健性的惟一假定是超额值近似服从GPD 分布。有关的研究如chavez—Demoulin等使用平滑技 术对模型中的趋势整合旧J，Ferm等使用了对数据聚 集去除(declustering)的方法[…]。 2．2损失强度和经济资本估计 对于损失强度，若给定的置信水平a>F。(M)，相 应的地尺值可得 ，o’、 忱|R。=F“(1一d) =M+等[(与羔)～一1] (8) f ^ 本研究将采用期望短缺(expected shortfau，Es)作 为期望损失强度的衡量，作为一致性风险度量指标 E．s在本研究方法中具有优势。由于满足次可加性， 在整合不同类别的操作风险损失的过程中，Es更便 于考量银行整体的操作风险经济资本。另外，对于典 型的低频率高损失事件(如内部欺诈)需要进一步 考虑损失特征的因素。正如下文所述，内部欺诈的损 失样本具有右偏的、尖峰厚尾的分布(这符合内部欺 诈风险的特点)，为了评估损失的总体状况，删比作 为分位数的忱R能提供更全面的信息。于是对于特 定的损失水平￡潜在损失规模为 ．ES(L)=L+E(X一￡I x>L) =L+MEF(L) (9) 其中，肘EF为超额均值函数。(9)式用参数为f、卢的 GPD模型可表示为…J 瓜一，+旦±趣 Es。=￡+气二等 I一言 L=“ (10) 恳：f土+—卫二兰L]谂。 嬲。=[亡+—卫-卫]阮尺。 1一； (1一手)比尺。 ￡=比R。>“ (11) 以下部分将使用(10)式进行估计。需要指出，以上 超额均值函数是定义在形状参数孝小于l的条件下。 对于f大于1的情况，可以使用中值超额函数，具体 的讨论参见文献[4]。中值超额函数定义为 med叭H)=[F。(÷)]。 (12) 综上，r时期内超过某特定阈值的超额损失 (EL)资本和操作风险经济资本分别为 cA％吐。7T等葺 (13) cA％：M+A。71譬粤 (14) 3 POT模型参数的贝叶斯McMC估计 从以上分析可知，参数的确定对于POT和经济 资本的估计至关重要，通常的POT参数估计方法有 极大似然法、矩估计和概率加权矩方法。已有的研 究证明极大似然法在大样本条件下比其他方法(如 概率加权矩方法)更加有效¨21；矩估计和概率加权 矩方法容易计算，但仅在f<0．5时适用，因为GPD分 布的方差仅在此时存在。同样，极大似然法估计仅在 亭≥一1时适用。事实上，给定(茗，，石：，…，石。)为观测 值，(茹h，戈：。…，算。)为按升序排列值。若f<一1，则 对数似然函数为 ， “ L。 ln￡(后，卢；省)=一nl邴+(÷一1)∑ln(1一等)(15) ’’ 2l P 其中，后=一手。(15)式随着等接近％：。趋近于无穷。 对于内部欺诈事件而言，低频率高损失是其本 质的特点，大量的样本往往难以获得。在确定阈值 后，当超额数数量较少时(如少于30个)，使用极大 似然法估计将很不可靠。此外，在尾部推断中，对估 计的范围进行评价是很重要的，需要给出置信区间。 针对内部欺诈数据稀少、损失强度大的特点，本研究 将采用一种有效的方法，即贝叶斯模拟。Medova用 此类方法对由俄罗斯金融危机引发的金融机构交易 损失进行了估计…J。本研究表明，使用贝叶斯估计 的POT模型参数比较稳定，支持尾部近似GPD的假 设。另外，该方法能提供比极大似然法更多的信息， 如参数的核密度估计及其置信区间。 限于本文研究的问题，这里只对有代表性的厚 尾损失分布(即f>0，下一部分中本研究的数据是厚 尾的)进行讨论，对于孝<O的情况仍可用类似方法 ' 处理。此时有卢>o，设丁=÷，则 卢 GPD(戈I f，下)=l一(1+亭丁戈)了 戈>0 (16) 设r、f相互独立，并有以下先验分布，即 f～Pore￡o I(d，c) d>0，c>0 r～Gn，n，nn(n，6) 血>0，6>0 (17) 其中，a、c为帕累托分布的参数，。、6为伽马分布参 万方数据