三、(20分)按相应齐次问题的本征函数展开 (r,0)=∑(r)P(cos) r R(0)有界R(a)=0 当l=1时,R1(r)=A1r+B1 R1()有界→B1=0 当l≠1时,B(r)=Ar2+Br4-1 R(0)有界→B=0 R(r)=0,l≠ (a)=0 Al=0 (2分) (2分) 本征函数 (2分) R(r)满足的微分方程 (2分) R(r)满足的边界条件 (2分) 时的解 (3分) ≠1时的解 (3分) 解式 (2分)❋✱ (20 ✲) ●❍■❏❑❁❂✷ ✾✿▲❉▼◆ u(r, θ) = X∞ l=0 Rl(r)Pl(cos θ) 1 r 2 d dr  r 2 dRl dr  − l(l + 1) r 2 Rl = −4πrδl1 Rl(0)❖ ✻ Rl(a) = 0 P l = 1 ◗❘ R1(r) = A1r + B1r −2 − 2 5 πr3 ❘ R1(0)❖ ✻ ⇒ B1 = 0 R1(a) = 0 ⇒ A1 = 2 5 πa2 R1(r) = 2 5 π ￾ a 2 − r 2
P l 6= 1 ◗❘ Rl(r) = Alr l + Blr −l−1 ❘ Rl(0)❖ ✻ ⇒ Bl = 0 Rl(a) = 0 ⇒ Al = 0 Rl(r) = 0, l 6= 1 ❙❚ u(r, θ) = 2 5 π ￾ a 2 − r 2
r cos θ ❉❯❱❲❳❨ (2 ✲) ❅❂✸❩❳❨ (2 ✲) ❬❭❪ φ ❫❴ (2 ✲) ✾✿▲❉ (2 ✲) Rl(r) ❵❛✷❜✲✸✹ (2 ✲) Rl(r) ❵❛✷✺✻✼✽ (2 ✲) l = 1 ◗✷❅ (3 ✲) l 6= 1 ◗✷❅ (3 ✲) ❅ ❊ (2 ✲) 14