( r t)=Cot Do+>Dn sin Co+>C Ju(a, t)=0+2 cos 分离变量X(x)的方程 (2分) (2分) T(t)的方程 (2分) 本征值问题λ (2分) (2分) n的取值 (1分) 特解Tn(t),T0(t (2分) (2分) (2分) (2分) (2分) (2分) 解式 (2分)✳✱ (25 ✲) u(x, t) = C0t + D0 + X∞ n=1 h Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l ati sin nπ l x u    t=0 = D0 + X∞ n=1 Dn sin nπ l x = u0cos 2 π l x = u0 2  1 + cos 2π l x  ⇒ D0 = u0 2 , Dn = u0 2 δn2 ∂u ∂t    t=0 = C0 + X∞ n=1 Cn n l πa · sin n l πx ⇒ C0 = Cn = 0 u(x, t) = u0 2 + u0 2 cos 2π l x cos 2π l at ✲✴✵✶ X(x)✷✸✹ (2 ✲) ✺✻✼✽ (2 ✲) T(t)✷✸✹ (2 ✲) ✾✿❀❁❂ λn (2 ✲) Xn(x) (2 ✲) n✷❃❀ (1 ✲) ❄ ❅ Tn(t), T0(t) (2 ✲) ✰❆❅ (2 ✲) ❇❈❉ C0 (2 ✲) Cn (2 ✲) D0, D2 (2 ✲) Dn (n 6= 0, 2) (2 ✲) ❅ ❊ (2 ✲) 13