5六章定积分 第六章定积分 CThe definite integration 第十五讲 Newton- Leibniz公式与定积分的计算 课后作业: 阅读:第六章63:pp168-174 预习:64,6.5,6.6:pp176-193 练习p.174-176:习题6.3:1,7,8中的单数序号小题 作业p174-176:习题6.3:1,(2),(6);2,(2);4;5;7,(4^,(6,(10 (12);8,(4),(8);9,ll;12;14;16;17;20. 6-3牛顿( Newton)-莱布尼兹 leibnitz)公式 6-3-1变上限定积分 (一)变上限积分 设∫∈ab],Vx∈[ab,F(x)=「f()t是定义在ab]上 的一个函数,称之为变上限积分 这里有一个十分重要的结果:变上限积分总是连续函数。 定理:若∫∈Ranb]→F(x)=f()∈Cab 证明:∫∈R[a,b]→∫在[a,b上有界,设界为A x∈[ab],△F(x)=|f()dt-|f(m)dt AF(x)=(054Jd=4△x-0 进一步,若加强条件,则有另一个重要结论 定理:设∫∈Ia,b1,则F(x)=「f(h,(a≤x≤b)可导,且 yx∈[a,b],F(x)=f(x) 这样F(x)=()在区间b上是f(x)的一个原函数 证明:Vx∈(a,b),有 F(x)=mF(x+△x)-F(x)= 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 第六章 定积分 (The definite integration ) 第十五讲 Newton－Leibniz 公式与定积分的计算 课后作业： 阅读：第六章 6.3: pp168---174. 预习：6.4, 6.5, 6.6: pp176---193. 练习 pp.174---176: 习题 6.3 : 1, 7, 8 中的单数序号小题. 作业 pp.174---176: 习题 6.3 : 1, (2), (6); 2, (2); 4; 5; 7, (4^, (6), (10), (12); 8, (4), (8); 9, 11; 12; 14; 16; 17; 20. 6-3 牛顿(Newton)－莱布尼兹(Leibnitz)公式 6-3-1 变上限定积分 (一 )变上限积分 设 f  R[a, b],  x [a, b] ,  = x a F(x) f (t)dt 是定义在 [a, b] 上 的一个函数, 称之为变上限积分. 这里有一个十分重要的结果：变上限积分总是连续函数。 定理: 若 f  R[a, b] F(x) f (t)dt C[a,b] x a  =   。 证明： f  R[a, b]  f 在 [a,b] 上有界，设界为 A ,      = − + x a x x a x [a,b], F(x) f (t)dt f (t)dt , ( ) ( ) 0  =  =  ⎯⎯→⎯0→ + +   x x x x x x x F x f t dt A dt A x . 进一步，若加强条件，则有另一个重要结论。 定理: 设 f C[a, b],则  = x a F(x) f (t)dt , ( a  x  b )可导，且:  x [a,b], F(x) = f (x) ； 这样  = x a F(x) f (t)dt 在区间 [a,b] 上是 f (x) 的一个原函数. 证明:  x (a, b), 有 x F x x F x F x x  +  −  =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 =